áp dụng bđt phụ
\(x^2+y^2+z^2>=xy+xz+yz\)
ta đượcp>=12
nham. thuc ra
áp dụng bdt cô si ta có
\(\frac{a^4}{b\left(c+a\right)^2}+b>=\frac{a^2}{c+a}\)
cm tương tự
do do P+a+b+c>=\(\frac{a^2}{c+a}+\frac{b^2}{a+b}+\frac{c^2}{b+c}\)
áp dụng bất đẳng thức bunhiacopxki ta có
\(\frac{a^2}{c+a}+\frac{b^2}{a+b}+\frac{c^2}{b+c}>=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{a+b+c}{2}=\frac{12}{2}=6\)
=>P>=-6
dau = xay ra<=>
\(\hept{\begin{cases}\frac{a^4}{b\left(c+a\right)^2}=b\\\frac{b^4}{c\left(a+b\right)^2}=c\end{cases}}va\hept{\begin{cases}\frac{c^4}{a\left(b+c\right)^2}=c\\\frac{\left(c+a\right)^2}{a^2}=\frac{\left(a+b\right)^2}{b^2}=\frac{\left(b+c\right)^2}{c^2}\\a+b+c=12\end{cases}}\)
<=>a=b=c=4(tm)
áp dụng lien tiep bất đẳng thức bunhiacopxki
P(a+b+c)>=\(\left(\frac{a^2}{c+a}+\frac{b^2}{a+b}+\frac{c^2}{b+c}\right)^2>=\left(\frac{\left(a+b+c\right)^2}{c+a+a+b+b+c}\right)^2=\left(\frac{12^2}{2.12}\right)^2=6^2=36\)
=>P>=3
tự giải tiep
