Question

Cho a,b,c là 3 cạnh của tam giác.

\(P=\frac{a+b+c}{2}\)

CM:\(\frac{1}{P-a}+\frac{1}{P-b}+\frac{1}{P-c}\ge\frac{2}{a}+\frac{2}{b}+\frac{2}{c}\)

Answer 1

do a,b,c là 3 cạnh của 1 tam giác nên a,b,c > 0 ; p -a,p-b,p-c > 0

Áp dung BĐT : \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)

Ta có : \(\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}\ge\frac{4}{2p-a-b}=\frac{4}{c}\)

Tương tự : \(\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}\ge\frac{4}{2p-b-c}=\frac{4}{a}\)

\(\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-c}\ge\frac{4}{2p-c-a}=\frac{4}{b}\)

Cộng từng vế 3 BĐT trên,ta được : 

\(2\left(\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}\right)\ge\frac{4}{a}+\frac{4}{b}+\frac{4}{c}\)

\(\Rightarrow dpcm\)

Dấu "=" xảy ra khi a = b = c