Áp dụng BĐT tam giác, ta có:
\(\hept{\begin{cases}a< b+c\\b< c+a\\c< a+b\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}2a< a+b+c\\2b< a+b+c\\2c< a+b+c\end{cases}}}\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}2a< 6\\2b< 6\\2c< 6\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}a< 3\\b< 3\\c< 3\end{cases}\Rightarrow}}\hept{\begin{cases}3-a>0\\3-b>0\\3-c>0\end{cases}}\)
Áp dụng BĐT Cauchy cho bộ ba số thực không âm, ta có:
\(\left(3-a\right)\left(3-b\right)\left(3-c\right)\le\left(\frac{3-a+3-b+3-c}{3}\right)^3=1\)
\(\Leftrightarrow27-9\left(a+b+c\right)+3\left(ab+bc+ca\right)-abc\le1\)
\(\Leftrightarrow abc\ge27-9.6+3\left(ab+bc+ca\right)-1\)
\(\Leftrightarrow2abc\ge-56+6\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Leftrightarrow3\left(a^2+b^2+c^2\right)+2abc\ge3\left(a^2+b^2+c^2\right)+3.2\left(ab+bc+ca\right)-56\)
\(\Leftrightarrow3\left(a^2+b^2+c^2\right)+2abc\ge3\left(a+b+c\right)^2-56\)
\(\Leftrightarrow3\left(a^2+b^2+c^2\right)+2abc\ge3.36-56=\)
\(\Leftrightarrow3\left(a^2+b^2+c^2\right)+2abc\ge52\)
Dấu \("="\) xảy ra khi \(a=b=c=2\)
Vậy \(3\left(a^2+b^2+c^2\right)+2abc\ge52\)
Lớp 8 chưa học bất dẳng thức Cauchy nên mik sẽ ko tính vs lại mik làm đc rồi và cảm ơn nha
Lớp 8 mà chưa học Cauchy thì bạn là học sinh đại trà à, thế mà cũng ra vẻ đăng câu hỏi
