Áp dụng BĐT \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\) , ta được :
\(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}\ge\frac{4}{2b}=\frac{2}{b}\)
\(\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\ge\frac{4}{2c}=\frac{2}{c}\)
\(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{c+a-b}\ge\frac{4}{2a}=\frac{2}{a}\)
Cộng các BĐT trên theo vế : \(2\left(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\right)\ge2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
Dấu "=" xảy ra khi a = b = c => Tam giác đó là tam giác đều.
Cho a,b.c là 3 cạnh 1 tam giác. CMR: 1 / a+b−c + 1 / b+c−a + 1 / c+a−b ≥ 1 / a +1 / b +1 / c
Áp dụng BĐT 1 / x +1 / y ≥ 4 / x+y , ta được :
1 / a+b−c + 1 / b+c−a ≥ 4 / 2b = 2 / b
1 / b+c−a +1 / c+a−b ≥ 4 / 2c = 2 / c
1 / a+b−c +1 / c+a−b ≥ 4 / 2a = 2 / a
Cộng các BĐT trên theo vế : 2( 1 / a+b−c + 1 / b+c−a + 1 / c+a−b ) ≥ 2( 1 / a + 1 / b + 1 / c )
⇒ 1 / a+b−c + 1 / b+c−a + 1 / c+a−b ≥ 1 / a + 1 / b + 1 / c
Dấu "=" xảy ra khi a = b = c => Tam giác đó là tam giác đều.
Áp dụng BĐT x 1 + y 1 ≥ x + y 4 , ta được : a + b − c 1 + b + c − a 1 ≥ 2b 4 = b 2 b + c − a 1 + c + a − b 1 ≥ 2c 4 = c 2 a + b − c 1 + c + a − b 1 ≥ 2a 4 = a 2 Cộng các BĐT trên theo vế : 2 a + b − c 1 + b + c − a 1 + c + a − b 1 ≥ 2 a 1 + b 1 + c 1 ⇒ a + b − c 1 + b + c − a 1 + c + a − b 1 ≥ a 1 + b 1 + c 1 Dấu "=" xảy ra khi a = b = c => Tam giác đó là tam giác đều.\(Áp dụng BĐT x 1 + y 1 ≥ x + y 4 , ta được : a + b − c 1 + b + c − a 1 ≥ 2b 4 = b 2 b + c − a 1 + c + a − b 1 ≥ 2c 4 = c 2 a + b − c 1 + c + a − b 1 ≥ 2a 4 = a 2 Cộng các BĐT trên theo vế : 2 a + b − c 1 + b + c − a 1 + c + a − b 1 ≥ 2 a 1 + b 1 + c 1 ⇒ a + b − c 1 + b + c − a 1 + c + a − b 1 ≥ a 1 + b 1 + c 1 Dấu "=" xảy ra khi a = b = c => Tam giác đó là tam giác đều.\)
