Câu hỏi của Phạm Trà Giang

Question

cho a,b,c khác nhau, cmr nếu:$\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}+\frac{c^2+a^2-b^2}{2ac}+\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=1$thì hai phân thức có giá trị là 1 và một phân thức có giá trị -1

Kiệt Nguyễn · Accepted Answer

$ĐK:a,b,c\ne0$Ta có: $\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}+\frac{c^2+a^2-b^2}{2ca}+\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=1$$\Leftrightarrow\left(\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}+1\right)+\left(\frac{c^2+a^2-b^2}{2ca}-1\right)+\left(\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}-1\right)=0$$\Leftrightarrow\frac{\left(b+c\right)^2-a^2}{2bc}+\frac{\left(c-a\right)^2-b^2}{2ca}+\frac{\left(a-b\right)^2-c^2}{2ab}=0$$\Leftrightarrow\frac{\left(b+c-a\right)\left(b+c+a\right)}{2bc}+\frac{\left(c-a-b\right)\left(b+c-a\right)}{2ca}-\frac{\left(a-b+c\right)\left(b+c-a\right)}{2ab}=0$$\Leftrightarrow\left(b+c-a\right)\frac{a\left(a+b+c\right)+b\left(c-a-b\right)-c\left(a-b+c\right)}{2abc}=0$$\Leftrightarrow\frac{\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)\left(a+b-c\right)}{2abc}=0$Trường hợp 1: $b+c-a=0$thì+) $\frac{\left(b+c\right)^2-a^2}{2bc}=\frac{\left(b+c-a\right)\left(a+b+c\right)}{2bc}=0\Rightarrow\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=-1$+) $\frac{\left(a-b\right)^2-c^2}{2ab}=\frac{\left(a-b-c\right)\left(a+c-b\right)}{2ab}=0\Rightarrow\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=1$$\Rightarrow\frac{c^2+a^2-b^2}{2ca}=1$Điều này chứng tỏ có hai phân thức có giá trị là 1 và một phân thức có giá trị -1Trường hợp 2: $c+a-b=0$ thì +) $\frac{\left(a-b\right)^2-c^2}{2ab}=\frac{\left(a-b-c\right)\left(a+c-b\right)}{2ab}=0\Rightarrow\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=1$+) $\frac{\left(c+a\right)^2-b^2}{2ca}=\frac{\left(c+a-b\right)\left(c+a+b\right)}{2ca}=0\Rightarrow\frac{c^2+a^2-b^2}{2ca}=-1$$\Rightarrow\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=1$Điều này cũng chứng tỏ có hai phân thức có giá trị là 1 và một phân thức có giá trị -1Trường hợp 3: $a+b-c=0$+) $\frac{\left(c-a\right)^2-b^2}{2ca}=\frac{\left(c-a-b\right)\left(c-a+b\right)}{2ca}=0\Rightarrow\frac{c^2+a^2-b^2}{2ca}=1$+) $\frac{\left(a+b\right)^2-c^2}{2ab}=\frac{\left(a+b-c\right)\left(a+b+c\right)}{2ab}=0\Rightarrow\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=-1$$\Rightarrow\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=1$Điều này cũng chứng tỏ có hai phân thức có giá trị là 1 và một phân thức có giá trị -1 (đpcm)Câu trả lời: $ĐK:a,b,c\ne0$Ta có: $\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}+\frac{c^2+a^2-b^2}{2ca}+\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=1$$\Leftrightarrow\left(\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}+1\right)+\left(\frac{c^2+a^2-b^2}{2ca}-1\right)+\left(\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}-1\right)=0$$\Leftrightarrow\frac{\left(b+c\right)^2-a^2}{2bc}+\frac{\left(c-a\right)^2-b^2}{2ca}+\frac{\left(a-b\right)^2-c^2}{2ab}=0$$\Leftrightarrow\frac{\left(b+c-a\right)\left(b+c+a\right)}{2bc}+\frac{\left(c-a-b\right)\left(b+c-a\right)}{2ca}-\frac{\left(a-b+c\right)\left(b+c-a\right)}{2ab}=0$$\Leftrightarrow\left(b+c-a\right)\frac{a\left(a+b+c\right)+b\left(c-a-b\right)-c\left(a-b+c\right)}{2abc}=0$$\Leftrightarrow\frac{\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)\left(a+b-c\right)}{2abc}=0$Trường hợp 1: $b+c-a=0$thì+) $\frac{\left(b+c\right)^2-a^2}{2bc}=\frac{\left(b+c-a\right)\left(a+b+c\right)}{2bc}=0\Rightarrow\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=-1$+) $\frac{\left(a-b\right)^2-c^2}{2ab}=\frac{\left(a-b-c\right)\left(a+c-b\right)}{2ab}=0\Rightarrow\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=1$$\Rightarrow\frac{c^2+a^2-b^2}{2ca}=1$Điều này chứng tỏ có hai phân thức có giá trị là 1 và một phân thức có giá trị -1Trường hợp 2: $c+a-b=0$ thì +) $\frac{\left(a-b\right)^2-c^2}{2ab}=\frac{\left(a-b-c\right)\left(a+c-b\right)}{2ab}=0\Rightarrow\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=1$+) $\frac{\left(c+a\right)^2-b^2}{2ca}=\frac{\left(c+a-b\right)\left(c+a+b\right)}{2ca}=0\Rightarrow\frac{c^2+a^2-b^2}{2ca}=-1$$\Rightarrow\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=1$Điều này cũng chứng tỏ có hai phân thức có giá trị là 1 và một phân thức có giá trị -1Trường hợp 3: $a+b-c=0$+) $\frac{\left(c-a\right)^2-b^2}{2ca}=\frac{\left(c-a-b\right)\left(c-a+b\right)}{2ca}=0\Rightarrow\frac{c^2+a^2-b^2}{2ca}=1$+) $\frac{\left(a+b\right)^2-c^2}{2ab}=\frac{\left(a+b-c\right)\left(a+b+c\right)}{2ab}=0\Rightarrow\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=-1$$\Rightarrow\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=1$Điều này cũng chứng tỏ có hai phân thức có giá trị là 1 và một phân thức có giá trị -1 (đpcm)

Phạm Trà Giang · Answer

cho mình hỏi tại sao từ$\left(b+c-a\right)\cdot\frac{a\left(a+b+c\right)+b\left(c-a-b\right)-c\left(a-b+c\right)}{2abc}=0$lại có thể suy ra được$\frac{\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)\left(a+b-c\right)}{2abc}=0$ vậy ?Câu trả lời: cho mình hỏi tại sao từ$\left(b+c-a\right)\cdot\frac{a\left(a+b+c\right)+b\left(c-a-b\right)-c\left(a-b+c\right)}{2abc}=0$lại có thể suy ra được$\frac{\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)\left(a+b-c\right)}{2abc}=0$ vậy ?

Khoá học trên OLM (olm.vn)

Khoá học trên OLM (olm.vn)