Question

Cho a,b,c dương thỏa mãn a+b+c=9.

Chứng minh: 1,\(\frac{a^2+a}{b+c}+\frac{b^2+b}{c+a}+\frac{c^2+c}{a+b}\ge6\)

                    2,\(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}\ge3\)  

Answer 1

1) TA có 

\(\frac{a^2+a}{b+c}+\frac{b^2+b}{c+a}+\frac{c^2+c}{a+b}=\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}+\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\)

(*) Xét BĐT : \(\frac{m^2}{x}+\frac{n^2}{y}\ge\frac{\left(m+n\right)^2}{x+y}\) với x ; m ; y ; n > 0 

( cái này xét hiệu là ok )

(*)ÁP dụng BĐT ta có \(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{a+b+c}{2}=\frac{9}{2}\)

Dấu ''= '' xảy ra khi a = b= c = 3 

(*) TA cần  cm \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\ge\frac{3}{2}\) (1)

Đặt b + c = x ; c+a = y ; a+ b = z (x; y; z > 0 )

=> \(\frac{x+y+z}{2}=a+b+c\) => a = \(\frac{y+z-x}{2};b=\frac{x+z-y}{2};c=\frac{x+y-z}{2}\)

(1) <=> \(\frac{y+z-x}{2x}+\frac{x+z-y}{2y}+\frac{x+y-z}{2z}\ge\frac{3}{2}\) <=> \(\frac{1}{2}\left(\frac{y}{x}+\frac{x}{y}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{x}{y}+\frac{z}{y}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{x}{z}+\frac{y}{z}\right)-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\ge1+1+1-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}\)

Dấu = xảy ra khi x = y= z <=> a = b =c = 3 

Vậy BĐT đc cm 

Answer 2

(*) Áp dụng BĐT \(\frac{m^2}{a}+\frac{n^2}{b}\ge\frac{\left(m+n\right)^2}{a+b}\) với a ; b ;m ;n > 0 

Xét BĐT 

\(\frac{a^4}{a\left(a^2+ab+b^2\right)}+\frac{b^4}{b\left(b^2+bc+c^2\right)}+\frac{c^4}{c\left(c^2+ca+a^2\right)}\) 

\(\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{a\left(a^2+ab+b^2\right)+b\left(b^2+bc+c^2\right)+c\left(c^2+ca+a^2\right)}\)\(=\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)}=\frac{a^2+b^2+c^2}{a+b+c}\) \(\ge\frac{a^2+b^2+c^2}{9}\)(1)

( Vì\(a\left(a^2+ab+b^2\right)+b\left(b^2+bc+c^2\right)+c\left(c^2+ca+a^2\right)=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)\))

(*) CM BĐT \(3\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge\left(a+b+c\right)^2\) ( biến đổi tương dương )

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}=\frac{9^2}{3}=27\)

BĐT đc CM đấu '' = ' ' xảy ra khi a =  b =c = 3 

Answer 3

bài 1 làm như ban thắng còn bài 2 có cách riêng để làm dạng này  . bạn xét 1 biểu thức B= b^3/a^2+ab+b^2 công c^3/b^2+bc+c^2 cang a^3/ c^2 +ca +a^2 . đặt biểu thức ban đầu là A . lấy A - B ta thấy bằng 0 . rồi bạn lấy A +B . có a^2 - ab + b^2 / a^2 + ab +b^2 >= 1/3 ( dùng phép biến đổi tương đương là ra) . sau đó nhan cả 2 về a+b là ra . 2 cái còn lại tương tự nha