Question

Cho∆ ABC cân tại A (góc A nhỏ 90° ,AB lớn hơn BC) . D là trung điểm của AC. Trên BD lấy E sao cho góc DAE=ABD. Từ A kẻ AG vuông BD từ C kẻ CK vuông BD.

a, cmr AK = CG

b, từ C kẻ CH vuông AE.cmr CE là phân giác của góc HCK

c, cmr  góc DAE= ECB

Answer 1

a) Xét \(\Delta AGD\)và \(\Delta CKD\)có:

      \(\widehat{AGD}=\widehat{CKD}\left(=90^0(gt)\right)\)

      AD = CD ( gt)

      \(\widehat{ADG}=\widehat{CDK}\)(hai góc đối đỉnh) 

Do đó \(\Delta AGD\)\(=\Delta CKD\left(ch-gn\right)\)

\(\Rightarrow GD=KD\)(hai cạnh tương ứng)

Xét \(\Delta AKD\)và \(\Delta CGD\)có: 

     AD = CD (gt)

    \(\widehat{ADK}=\widehat{CDG}\)(hai góc đối đỉnh)

    KD = GD ( cmt)

Do đó \(\Delta AKD\)\(=\Delta CGD\left(c-g-c\right)\)

\(\Rightarrow AK=CG\)(hai cạnh tương ứng)

b) Xét \(\Delta ABG\)và \(\Delta CAH\)có:

        \(\widehat{AGB}=\widehat{CHA}\left(=90^0(gt)\right)\)

       AB = CA (gt)

       \(\widehat{ABG}=\widehat{CAH}\)(gt)

Do đó \(\Delta ABG\)\(=\Delta CAH\left(ch-gn\right)\)

\(\Rightarrow AG=CH\)(hai cạnh tương ứng) (1)

Ta có:  \(\Delta AGD\)\(=\Delta CKD\left(ch-gn\right)\)(c/m ở câu a)

\(\Rightarrow AG=CK\)(hai cạnh tương ứng) (2)

Từ (1) và (2) suy ra CH = CK (t/c bắc cầu)

Xét hai tam giác CKE vuông tại K và tam giác CHE vuông tại H có:

       CE : cạnh chung 

       CH = CK (cmt)

Do đó \(\Delta CKE=\Delta CHE\left(2cgv\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{KCE}=\widehat{HCE}\)(hai góc tương ứng)

Lại có CE nằm giữa CH và CK nên CE là phân giác của \(\widehat{HCK}\)(đpcm)

c)  \(\Delta CKE=\Delta CHE\left(2cgv\right)\)(c/m ở câu b) nên \(\Rightarrow\widehat{KEC}=\widehat{HEC}\)(hai góc tương ứng) 

Ta có \(\widehat{KEC}\)là góc ngoài của \(\Delta ECB\)nên ​​​\(\widehat{KEC}=\widehat{EBC}+\widehat{ECB}\)

​và ​\(\widehat{HEC}\)​là góc ngoài của \(\Delta ACE\)nên \(\widehat{HEC}=\widehat{EAC}+\widehat{ECA}=\widehat{ABD}+\widehat{ECA}\)(vì ​\(\widehat{EAC}=\widehat{ABD}\left(gt\right)\)​)