Question

cho a+b+c =1 thảo mãn a,b,c là các thực dương . tìm GTNN của bt P = a ³/ (1-a) ² + b ³/ (1-b) ² + c ³/ (1-c) ³

 

Answer 1

Ta có đánh giá sau:

\(\dfrac{a^3}{\left(1-a\right)^2}\ge\dfrac{4a-1}{4}\)

Thật vậy, BĐT tương đương:

\(4a^3-\left(4a-1\right)\left(1-a\right)^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow9a^2-6a+1\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(3a-1\right)^2\ge0\) (luôn đúng)

Tương tự: \(\dfrac{b^3}{\left(1-b\right)^2}\ge\dfrac{4b-1}{4}\) ; \(\dfrac{c^3}{\left(1-c\right)^2}\ge\dfrac{4c-1}{4}\)

Cộng vế:

\(P\ge\dfrac{4\left(a+b+c\right)-3}{4}=\dfrac{1}{4}\)

\(P_{min}=\dfrac{1}{4}\) khi \(a=b=c=\dfrac{1}{3}\)