Question

cho a,b,c >0 và 1/1+a +1/1+b +1/1+c =2 tìm giá trị lớn nhất của abc

Answer 1

Điều kiện đã cho

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{1+a}=\left(1-\dfrac{1}{1+b}\right)+\left(1-\dfrac{1}{1+c}\right)\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{1+a}=\dfrac{b}{1+b}+\dfrac{c}{1+c}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{1+a}=\dfrac{b+c+2bc}{bc+b+c+1}\)

\(\Leftrightarrow bc+b+c+1=b+c+2bc+ab+ac+2abc\)

\(\Leftrightarrow2abc+ab+bc+ca=1\)

Mà \(ab+bc+ca\ge3\left(\sqrt[3]{abc}\right)^2\)

\(\Rightarrow2abc+3\left(\sqrt[3]{abc}\right)^2\le1\)

Đặt \(\sqrt[3]{abc}=t\left(t\ge0\right)\), khi đó \(2t^3+3t^2\le1\) 

\(\Leftrightarrow\left(t+1\right)^2\left(2t-1\right)\le0\)

Do \(\left(t+1\right)^2\ge0\) nên \(2t-1\le0\) \(\Leftrightarrow t\le\dfrac{1}{2}\) \(\Leftrightarrow abc\le\dfrac{1}{8}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{2}\)