Question

Cho a,b>0 và \(a^2+b^2=8\)tìm Min của biểu thức Q=\(2a+2b+\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{a}\)

Answer 1

\(Q=a+b+\frac{a^2+b^2}{a}+\frac{a^2+b^2}{b}=a+b+\frac{8}{a}+\frac{8}{b}\).

Ta dự đoán biểu thức đạt min tại \(a=b=2\) nghĩa là \(a=\frac{4}{a},b=\frac{4}{b}\) nên ta tách:

\(Q=\left(a+\frac{4}{a}\right)+\left(b+\frac{4}{b}\right)+4\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\).

Áp dụng BĐT Cauchy và BĐT \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)ta có \(Q\ge8+\frac{16}{a+b}\).

Ta lại có \(a+b\le\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}=4\) nên \(Q\ge12\)