Question

Cho a,b>0 và a² +b² =1/2.Chứng minh \(\frac{1}{1-2ab}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge6\)

Answer 1

Không mất tính tổng quát ta giả sử: \(a\ge b\)

Nếu \(a\ge b>\frac{1}{2}\Rightarrow a^2\ge b^2>\frac{1}{4}\Rightarrow a^2+b^2>\frac{1}{2}\)(loại)

Nếu \(\frac{1}{2}>a\ge b\Rightarrow\frac{1}{4}>a^2\ge b^2\Rightarrow a^2+b^2< \frac{1}{2}\)(loại)

Vậy chỉ còn trường hợp: \(a\ge\frac{1}{2}\ge b\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a-\frac{1}{2}\ge0\\b-\frac{1}{2}\le0\end{cases}}\)

Nhân vế theo vế ta được

\(\left(a-\frac{1}{2}\right)\left(b-\frac{1}{2}\right)\le0\)

\(\Leftrightarrow ab-\frac{a+b}{2}+\frac{1}{4}\le0\)

\(\Leftrightarrow a+b\ge2ab+\frac{1}{2}\)

Từ bài toán ta có

\(\frac{1}{1-2ab}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{1-2ab}+\frac{a+b}{ab}\)

\(\ge\frac{1}{1-2ab}+\frac{2ab+\frac{1}{2}}{ab}=\frac{1}{1-2ab}+\frac{1}{2ab}+2\)

\(\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{1-2ab+2ab}+2=4+2=6\)

Dấu = xảy ra khi \(a=b=\frac{1}{2}\)

Answer 2

ket qua la 213/4

Answer 3

a²+b²=\(\frac{1}{2}\)

xét a;b<\(\frac{1}{2}\)thì a²+b²<\(\frac{1}{2}\)

=>1 trong 2 số phải \(\ge\frac{1}{2}\)

giả sử a\(\le b\)=>\(\left(a-\frac{1}{2}\right)\left(b-\frac{1}{2}\right)\le0\)

\(\Leftrightarrow2ab+\frac{1}{2}\le a+b\)

mà \(a^2+b^2=\frac{1}{2}\Rightarrow\frac{1}{2}\ge2ab\Rightarrow1-2ab>0\)

\(\frac{1}{1-2ab}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{1-2ab}+\frac{a+b}{ab}\ge\frac{1}{1-2ab}+\frac{2ab+\frac{1}{2}}{ab}\)

\(=\frac{1}{1-2ab}+\frac{1}{2ab}+2\ge\frac{4}{1-2ab+2ab}+2=4+2=6\)

Dấu = xảy ra khi \(a=b=\frac{1}{2}\)

Answer 4

de minh cho ban ket qua nhe do la 213/4

Answer 5

chị ơi viết hỗn số kiểu gì vậy ạ

Answer 6

Không đúng tí nào

Answer 7

213\4