Question

Cho a,b là các số dương thỏa mãn a.b=4.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P=\(\frac{\left(a+b-2\right)\left(a^2+b^2\right)}{a+b}\)

Answer 1

Vì (a-b)² \(\ge\)0 \(\forall\)a,b\(\Rightarrow\)a²+b² \(\ge\)2ab. Mà ab=4\(\Rightarrow\)a²+b² \(\ge\)8.

\(\Rightarrow\)P=\(\frac{\left(a+b-2\right)\left(a^2+b^2\right)}{a+b}\)\(\ge\)\(\frac{\left(a+b-2\right).8}{a+b}\)

Đặt t=a+b\(\Rightarrow\)t\(\ge\)4 (Do a+b \(\ge\)2\(\sqrt{ab}\)= 4)

\(\Rightarrow\)P=\(\frac{\left(t-2\right).8}{t}\) = \(\frac{8t-16}{t}\)=\(8-\frac{16}{t}\) 

Vì t\(\ge\)4 \(\Rightarrow\)\(\frac{16}{t}\le\frac{16}{4}=4\)\(\Rightarrow-\frac{16}{t}\ge-4\)\(\Rightarrow\left(8-\frac{16}{t}\right)\ge8-4=4\)

\(\Rightarrow P\ge4.\)Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(\hept{\begin{cases}a=b\\a.b=4\end{cases}\Leftrightarrow a=b=2}\)

Vậy P min = 4 \(\Leftrightarrow\)a=b=2.