\(\frac{1}{\sqrt{a+2b}}+\frac{1}{\sqrt{b+2a}}\ge\frac{2}{a+2b+1}+\frac{2}{b+2a+1}\)
\(\ge2.\frac{4}{3a+3b+2}=\frac{8}{\frac{3.2}{3}+2}=2\)
Dấu = xảy ra khi \(a=b=\frac{1}{3}\)
Cho các số thực dương a;b;c thỏa mãn\(a^2+b^2+c^2=1\).Chứng minh
\(\sqrt{\frac{ab+2c^2}{1+ab-c^2}}+\sqrt{\frac{bc+2a^2}{1+bc-a^2}}+\sqrt{\frac{ca+2b^2}{1+ca-b^2}}\ge2+ab+bc+ca\)
1) cho a;b;c ko âm .chứng minh \(\sqrt{\frac{a+2b}{3}}+\sqrt{\frac{b+2c}{3}}+\sqrt{\frac{c+2a}{3}}\ge\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\)
2) cho a;;b;c dương và abc=1. chứng minh \(\frac{bc}{a^2b+a^2c}+\frac{ca}{b^2c+b^2a}+\frac{ab}{c^2a+c^2b}\ge\frac{3}{2}\)
Cho các số thực dương a,b thoả mãn: \(a^2+2b^2=1\)
Chứng minh: \(\frac{a}{b^2}+\frac{4b}{a^2+b^2}\ge3\sqrt{3}\)
Biết a,b là 2 số thực dương thỏa mãn a2+b2=1.Chứng minh
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\left(\sqrt{\frac{a}{b}}-\sqrt{\frac{b}{a}}\right)^2\ge2\sqrt{2}\)
Bài 1: Cho a,b dương và \(2a+3b=ab\) Chứng minh rằng
\(a+b\ge5+2\sqrt{6}\)
Bài 2: Cho a,b dương và \(a+b=ab\) Tìm giá trị lớn nhất của
\(S=\frac{1}{a}+\frac{2}{a+b}\)
Bài 3: Cho a,b là các số dương. Tìm giá trị bé nhất của
\(S=\frac{a^2+b^2}{b^2+2ab}+\frac{b^2}{a^2+2b^2}\)
Bài 4: Cho ba số dương a,b,c thỏa mãn \(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}=9\)Chứng minh rằng
\(\frac{1}{2a+b}+\frac{1}{2b+c}+\frac{1}{2c+a}\le\sqrt{3}\)
Bài 5: Cho ba số thực không âm x,y,z thỏa mãn \(x+y+z\ge3\)Chứng minh rằng
\(\frac{x^2}{x+\sqrt{yz}}+\frac{y^2}{y+\sqrt{zx}}+\frac{z^2}{z+\sqrt{xy}}\ge\frac{3}{2}\)
Cho 3 số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng:
\(\frac{1}{a\sqrt{3a+2b}}+\frac{1}{b\sqrt{3b+2c}}+\frac{1}{c\sqrt{3c+2a}}\)\(\ge\frac{3}{\sqrt{5abc}}\)
Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn \(a^2+b^2+c^2=1\). CMR:
\(\sqrt{\frac{ab+2c^2}{1+ab-c^2}}+\sqrt{\frac{bc+2a^2}{1+bc-a^2}}+\sqrt{\frac{ca+2b^2}{1+ca-b^2}}\ge2+ab+bc+ca\)
Cho a, b, c là các số thực dương bất kì. Chứng minh rằng:
\(\frac{3a+b}{\sqrt{a^2+2b^2+c^2}}+\frac{3b+c}{\sqrt{b^2+2c^2+a^2}}+\frac{3c+a}{\sqrt{c^2+2a^2+b^2}}\le6\)
Biết a,b là hai số thực dương thỏa mãn \(a^2+b^2=1\) .Chứng minh rằng
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\left(\sqrt{\frac{a}{b}}-\sqrt{\frac{b}{a}}\right)^2\ge2\sqrt{2}\)
