Question

cho a,b khong âm t/m a^2 + b^2 =1. tim  max  S=\(\sqrt{1+2a}+\sqrt{1+2b}\)

Answer 1

Áp dụng BĐT Bu-nhi-a-cốp-xki ta có:

\(S^2=\left(1.\sqrt{1+2a}+1.\sqrt{1+2b}\right)^2\le\left(1^2+1^2\right)\left(1+2a+1+2b\right)\)\(=4+4\left(a+b\right)\)

Áp dụng tiếp BĐT Bu-nhi-a-cốp-xki ta có \(\left(a+b\right)^2\le2\left(a^2+b^2\right)=2\)\(\Rightarrow a+b\le\sqrt{2}\)\(\Rightarrow S^2\le4+4\sqrt{2}\Rightarrow S\le2\sqrt{1+\sqrt{2}}\).Xảy ra đẳng thức khi và chỉ khi \(a=b=\frac{\sqrt{2}}{2}\)