CM cái sau:
Ta có: \(a+\frac{1}{a}=\frac{a}{1}+\frac{1}{a}\ge2\sqrt{\frac{a}{1}.\frac{1}{a}}=2.1=2\) (bất đẳng thức Cauchy)
Chứng minh:
\(\left(a-b\right)^2\ge0\left(\forall a,b\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2\ge4ab\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\)
\(\Leftrightarrow a+b\ge2\sqrt{ab}\)
(áp dụng vào cái trên)
Dấu "=" xảy ra khi:
\(a=\frac{1}{a}\Leftrightarrow a^2=1\Rightarrow a=1\left(a>0\right)\)
Với a,b,c lớn hớn 0 .Cm \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\:\:\)lớn hơn hoặc bằng 3/2
Cho x,y>0. Chứng minh rằng \(\frac{1}{\sqrt{3x+y}}+\frac{1}{\sqrt{x+3y}}\) Lớn hơn hoặc bằng \(\frac{2}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}\)
\(\sqrt{\frac{2}{a}}+\sqrt{\frac{2}{b}\: }+\sqrt{\frac{2}{c}}\le\sqrt{\frac{a+b}{ab}}\sqrt{\frac{b+c}{bc}}+\sqrt{\frac{c+a}{ca}}\)
Với a,b,c >0 . Cm
Chứng minh rằng:
a, a2 + b2 -2ab lớn hơn hặc bằng 0
b, \(\frac{a^2+b^2}{2}\)lớn hơn hoặc bằng ab
c, a(a+2) < (a+1)2
d, m2 + n2 +2 lớn hơn hoặc bằng 2(m+n)
e, (a+b)(\(\frac{1}{a}\)+ \(\frac{1}{b}\) ) lớn hơn hoặc bằng 4 ( với a>0,b>0)
Cho a,b>0. CM:
\(\sqrt{\frac{a^2}{b}}+\sqrt{\frac{b^2}{a}}>=\sqrt{a}+\sqrt{b}\)
1)Cho a,b>0
Cm: \(\frac{a^2+b^2}{2}+\frac{a+b}{4}\ge a\sqrt{b}+b\sqrt{a}\)a
2)Cho (a,240)=1. Cm: a^4-1 chia hết cho 240
a, b, c > 0. CM:
a)\(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\ge\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}+\sqrt{\frac{b^2+c^2}{2}}+\sqrt{\frac{c^2+a^2}{2}}\)
b)\(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\ge\sqrt{a^2+b^2-ab}+\sqrt{b^2+c^2-bc}+\sqrt{c^2+a^2-ac}\)
Cho a, b > 0. CM: \(\frac{2ab}{a+b}+\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}\ge\sqrt{ab}+\frac{a+b}{2}\)
cho a,b>0 CM
\(\sqrt{a^2+\frac{1}{b^2}}\)\(+\sqrt{b^2+\frac{1}{a^2}}\)\(\ge2\sqrt{2}\)
