ban chuyen ve tao hang dang thuc thu 2 . sau do dung co si hoac bunhia ngc .( neu dung cosi thi them tri tuyet doi , con d amung bunhia thi ko lo duong hay am
Xét hiệu: \(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2}+4-3\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)=\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)^2+2-3\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)\left(1\right)\)
Đặt \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=A\) , (1) trở thành: \(A^2-3A+2=A^2-A-2A+2=A\left(A-1\right)-2\left(A-1\right)=\left(A-1\right)\left(A-2\right)\)
+Nếu a,b cùng dấu ,ta có: \(A=\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\) \(\ge2\) (c/m = biến đổi tương đương)
Do đó \(\left(A-1\right)\left(A-2\right)\ge0\),Dấu "=" xảy ra <=> a=b
+Nếu a,b trái dấu ,ta có: \(A=\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\le-2\)
do đó \(\left(A-1\right)\left(A-2\right)\ge0\),Dấu "=" xảy ra <=> a=-b
Từ đó suy ra đpcm
Đặt \(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=a\Rightarrow\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}+2=a^2\).Dễ dàng chứng minh \(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}\ge2\)nên \(a^2\ge4\),do đó \(\left|a\right|\ge2\)(1)
\(BDT\Leftrightarrow a^2-2+4\ge3a\)
\(\Leftrightarrow a^2-3a+2\ge0\Leftrightarrow\left(a-1\right)\left(a-2\right)\ge0\left(2\right)\)
Từ (1) suy ra \(a\ge2\)hoặc\(a\le-2\)
Nếu \(a\ge2\) =>(2) đúngNếu \(a\le-2\)=> (2) cx đúngBài toán đc CM
bạn chuyển vế phải sang vế trái tao hang thuc thu 2 thanh (\(\left(\frac{a}{b}-\frac{3}{2}\right)^2\)+ \(\left(\frac{b}{a}-\frac{3}{2}\right)^2\)\(-\)\(\frac{1}{2}\)\(\ge\)\(0\). ta co dat dang thuc phu sau day . \(a^2+b^2\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{2}\)( bạn có thể dùng biến đổi tương đương hoặc bunhia để cm cái này ) . thế là xong rồi đó
