easy
\(VT\ge\frac{8}{\left(a+b\right)^2+\left(a+b\right)^2c}+\frac{8}{\left(b+c\right)^2+\left(b+c\right)^2c}+\frac{8}{\left(c+a\right)^2+\left(c+a\right)^2b}+\frac{\left(a+b\right)^2}{4}+\frac{\left(b+c\right)^2}{4}+\frac{\left(c+a\right)^2}{4}\)
\(=\frac{8}{\left(a+b\right)^2\left(c+1\right)}+\frac{8}{\left(b+c\right)^2\left(a+1\right)}+\frac{8}{\left(c+a\right)^2\left(b+1\right)}+\frac{\left(a+b\right)^2}{4}+\frac{\left(b+c\right)^2}{4}+\frac{\left(c+a\right)^2}{4}\)
đến đây ghép rồi dùng cô si
bài này trong đề thi của tỉnh nào đó ở nước nào đó ở hành tinh nào đó năm 2016-2017
bạn làm luôn khúc sau dùm mik nhé, mik ko hiểu
Ta có bất đẳng thức quen thuộc sau \(4ab\le\left(a+b\right)^2\). Như vậy thì:\(\frac{8}{\left(a+b\right)^2+4abc}\ge\frac{8}{\left(a+b\right)^2+c\left(a+b\right)^2}\)\(=\frac{8}{\left(c+1\right)\left(a+b\right)^2}\)
Lại có \(a^2+b^2\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{2}\)nên \(\frac{8}{\left(a+b\right)^2+4abc}+\frac{a^2+b^2}{2}\)\(\ge\frac{8}{\left(c+1\right)\left(a+b\right)^2}+\frac{\left(a+b\right)^2}{4}\ge\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{c+1}}\)(Theo BĐT AM - GM)
Lại áp dụng BĐT AM - GM, ta được: \(\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{c+1}}=\frac{8}{2\sqrt{2\left(c+1\right)}}\ge\frac{8}{c+3}\)
Từ đó suy ra \(\frac{8}{\left(a+b\right)^2+4abc}+\frac{a^2+b^2}{2}\ge\frac{8}{c+3}\)(1)
Tương tự, ta có: \(\frac{8}{\left(b+c\right)^2+4abc}+\frac{b^2+c^2}{2}\ge\frac{8}{a+3}\)(2) ; \(\frac{8}{\left(c+a\right)^2+4abc}+\frac{c^2+a^2}{2}\ge\frac{8}{b+3}\)(3)
Cộng theo vế của 3 BĐT (1), (2), (3), ta được: \(\frac{8}{\left(a+b\right)^2+4abc}+\frac{8}{\left(b+c\right)^2+4abc}+\frac{8}{\left(c+a\right)^2+4abc}\)\(+a^2+b^2+c^2\ge\frac{8}{a+3}+\frac{8}{b+3}+\frac{8}{c+3}\)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1
