Question

cho \(a^3+3ab^2=2006\) 

\(b^3+3a^2b=2005\) 

tính \(a^2-b^2\)

Answer 1

Cách 1:

Ta có: \(\left(a+b\right)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3=\left(a^3+3ab^2\right)+\left(b^3+3a^2b\right)=4011\)

          \(\Rightarrow a+b=\sqrt[3]{4011}\)

Mặt khác: \(\left(a-b\right)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3=\left(a^3+3ab^2\right)-\left(b^3+3a^2b\right)=1\)

             \(\Rightarrow a-b=1\)

Vậy \(a^2-b^2=\left(a+b\right)\left(a-b\right)=\sqrt[3]{4011}.1=\sqrt[3]{4011}\)

Cách 2:

Ta có: \(\left(a^3+3ab^2\right)^2=a^6+6a^4b^2+9a^2b^4\Rightarrow a^6+6a^4b^2+9a^2b^4=2006^2\left(1\right)\)

           \(\left(b^3+3a^2b\right)^2=b^6+6a^2b^4+9a^4b^2\Rightarrow b^6+6a^2b^4+9a^4b^2=2005^2\left(2\right)\)

 \(\left(1\right)\left(2\right)\Rightarrow\left(a^6+6a^4b^2+9a^2b^4\right)-\left(b^6+6a^2b^4+9a^4b^2\right)=2006^2-2005^2=4011\)

                   \(\Rightarrow a^6-3a^4b^2+3a^2b^4-b^3=4011\Rightarrow\left(a^2-b^2\right)^3=4011\Rightarrow a^2-b^2=\sqrt[3]{4011}\)

Answer 2

Ta có:a³+3ab²=2006

Và:b³+3a²b=2005

Cộng 2 biểu thức vế với vế ta được:

a³+3ab²+b³+3a²b=2006+2005

=>(a+b)³=4011

=>\(a+b=\sqrt{4011}.\)

Lấy biểu thức thứ nhất trừ biểu thức thứ hai ta dc:

a³+3ab²-b³-3a²b=2006-2005

=>(a-b)³=1

=>a-b=1.

Ta có:\(a^2-b^2=\left(a+b\right)\cdot\left(a-b\right)=\sqrt{4011}\cdot1=\sqrt{4011}.\)

Vậy \(a^2-b^2=\sqrt{4011}.\)