Question

Cho  \(a^2+b^2=6\) .chứng minh 

\(\sqrt{3\left(a^2+6\right)}\ge\left(a+b\right)\sqrt{2}\)

Answer 1

Biến đổi tương đương :

\(\sqrt{3\left(a^2+6\right)}\ge\left(a+b\right)\sqrt{2}\)

\(\Leftrightarrow3\left(a^2+6\right)\ge2\left(a^2+2ab+b^2\right)\)

\(\Leftrightarrow3\left(a^2+a^2+b^2\right)\ge2\left(a^2+2ab+b^2\right)\)

\(\Leftrightarrow6a^2+3b^2\ge2a^2+4ab+2b^2\)

\(\Leftrightarrow4a^2+b^2\ge4ab\)

\(\Leftrightarrow\left(2a\right)^2-2.2a.b+b^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(2a-b\right)^2\ge0\) (luôn đúng).

Vậy ta đã chứng minh được \(\sqrt{3\left(a^2+6\right)}\ge\left(a+b\right)\sqrt{2}\).

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi : \(2a=b\) .