Question

\(Cho\)  \(A=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{100}\)

Chứng minh rằng tổng A không là số tự nhiên 

Answer 1

Để quy đồng các mẫu của các phân số trong tổng A = \(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{100}\), ta chọn mẫu chung là tích của 2⁶ với các thừa số lẻ nhỏ hơn 100 . Gọi k1 , k2 , ... k100 là các thừa số phụ tương ứng  , tổng A có dạng : B = \(\frac{\left(k1+k2+k3+...+k100\right)}{2^6.3.5.7....99}\)

Trong 100 phân số của tổng A chỉ có duy nhất phân số \(\frac{1}{64}\)có mẫu chứa 2⁶ nên trong các thừa số phụ k1 , k2 , ... , k100 chỉ có k64 ( thừa số phụ của \(\frac{1}{64}\)) là số lẻ ( bằng 3.5.7...99 ) , còn các thừa số phụ khác đều chẵn ( vì chứa ít nhất một thừa số 2 ) do đó B ( tức là A ) không thể là số tự nhiên