Question

cho A>0 tìm x để A=x/x^2-x+1 đạt giá trị lớn nhất.

Answer 1

- Ta có: \(A>0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{x}{x^2-x+1}>0\)

- Vì \(x^2-x+1=\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}>0\forall x\) nên \(x>0\).

- Với \(x>0\). Chia cả tử và mẫu của phân thức A cho \(x\), ta có:

\(A=\dfrac{x}{x^2-x+1}=\dfrac{1}{x-1+\dfrac{1}{x}}=\dfrac{1}{\left(x+\dfrac{1}{x}\right)-1}\left(1\right)\)

- Mặt khác, ta cũng có: \(x+\dfrac{1}{x}\ge2\left(x>0\right)\left(2\right)\)

* Ta đi chứng minh bất đẳng thức trên.

- Ta có: \(x+\dfrac{1}{x}\ge2\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{x^2+1}{x}\ge2\)

\(\Leftrightarrow x^2+1\ge2x\left(x>0\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2\ge0\left(đúng\right)\)

- Kết hợp (1), (2) ta có:

\(A=\dfrac{1}{\left(x+\dfrac{1}{x}\right)-1}\le\dfrac{1}{2-1}=1\)

- Dấu "=" xảy ra khi \(x+\dfrac{1}{x}=2\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2=0\Leftrightarrow x=1\)

- Vậy \(MaxA=1\), đạt được khi \(x=1\)