Question

Cho a và b nguyên tố cùng nhau.Chứng minh a+b va ab nguyên tố cùng nhau

Answer 1

Lời giải:

Giả sử $a+b, ab$ không nguyên tố cùng nhau.

Khi đó: Gọi $p$ là ước nguyên tố lớn nhất của $a+b$ và $ab$

$\Rightarrow a+b\vdots p$ và $ab\vdots p$

Vì $ab\vdots p\Rightarrow a\vdots p$ hoặc $b\vdots p$

Nếu $a\vdots p$ thì từ $a+b\vdots p\Rightarrow (a+b)-a\vdots p$

$\Rightarrow b\vdots p$.

Vậy $p=ƯC(a,b)$. Mà $a,b$ nguyên tố cùng nhau nên $p=1$ (vô lý)

Nếu $b\vdots p$ thì từ $a+b\vdots p\Rightarrow (a+b)-b\vdots p$

$\Rightarrow a\vdots p$.

Vậy $p=ƯC(a,b)$. Mà $a,b$ nguyên tố cùng nhau nên $p=1$ (vô lý)

Vậy điều giả sử là sai. Tức là $a+b, ab$ nguyên tố cùng nhau.