Question

cho a và b là các số nguyên dương sao cho \(a^2+b^2\)chia hết cho tích ab

Hãy tính A=\(\frac{a^{2018}+b^{2018}}{a^{1009}b^{1009}}\)

Answer 1

Ta có vì \(a^2+b^2\) chia hết cho \(ab\)

=>A= \(\frac{a^{2018}}{a^{1009}b^{1009}}+\frac{b^{2018}}{a^{1009}b^{1009}}\) =  \(\frac{a^{1009}}{b^{1009}}+\frac{b^{1009}}{a^{1009}}\) (Rút gọn)

Gọi a¹⁰⁰⁹ là x,b¹⁰⁰⁹ là y

=> \(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=\frac{x^2+y^2}{xy}\)\(=\frac{x^2+y^2-2xy}{xy}+2=\frac{\left(x-y\right)^2}{xy}-2\)

Vì (x-y)²>= 0 với mọi x,y => \(\frac{\left(x-y\right)^2}{xy}+2\)luôn lớn hơn hoặc bằng 2 

Vậy dấu bằng xảy ra khi x-y=0 => x=y

Vì a² + b² chia hết cho ab => a,b là ước chung => a=b

Vậy A =2