Question

cho a là số tự nhiên lớn hơn 5 và không chia hết cho 5

chứng minh rằng a\(^{8n}\)+3a\(^{4n}\)- 4 chia hết cho 5, với mọi số tự nhiên n. 

Answer 1

bt trên sẽ là  (a⁴ⁿ)² + 3 . a⁴ⁿ  - 4 = (a⁴ⁿ)² + 4. a⁴ⁿ - a⁴ⁿ -4 = ( a⁴ⁿ + 4)(a⁴ⁿ -1)

mặt khác vì a là số tự nhiên , a không chia hết cho 5

=> a⁴ⁿ = (a²ⁿ)²  là số chính phương chia 5 dư 1 hoặc 4 (vì scp chia 5 dư 0,1,4 - bạn có thể chứng minh = cách xét 1 số x nào đó có số dư cho 5 là 0,1,2,3,4 , đăt dạng của nó (VD như 5k+1 chẳng hạn ) rồi bp lên đc scp của nó để tìm số dư của scp đó cho 5 theo cách tổng quát nhất)

 nếu a⁴ⁿ chia 5 dư 1 => a⁴ⁿ -1 chia hết cho 5 => bt chia hết cho 5

nếu a⁴ⁿ chia 5 dư 4 => a⁴ⁿ -4 chia hết cho 5 => bt chia hết cho 5

 Vậy bt trên chia hết cho 5