Question

Cho A =\(\dfrac{1}{x-2}\)+\(\dfrac{1}{x+2}+\dfrac{x^2+1}{x^2-4}\)(với \(x\ne\pm2\))

1. rút gọn biểu thức A

2.Chứng tỏ rằng với mọi x thỏa mãn -2<x<2 ,\(x\ne-1\)biểu thức A luôn có giá trị âm .

Answer 1

Lời giải:

1)

Ta có: \(A=\frac{1}{x-2}+\frac{1}{x+2}+\frac{x^2+1}{x^2-4}\)

\(=\frac{x+2}{(x-2)(x+2)}+\frac{x-2}{(x-2)(x+2)}+\frac{x^2+1}{x^2-4}\)

\(=\frac{x+2}{x^2-4}+\frac{x-2}{x^2-4}+\frac{x^2+1}{x^2-4}=\frac{x+2+x-2+x^2+1}{x^2-4}\)

\(=\frac{x^2+2x+1}{x^2-4}=\frac{(x+1)^2}{x^2-4}\)

2) Với mọi \(-2< x< 2\Rightarrow (x-2)(x+2)< 0\Leftrightarrow x^2-4< 0\)

Mà \((x+1)^2>0\forall x\neq 1; -2< x< 2\) nên \(\frac{(x+1)^2}{x^2-4}< 0\)

Tức là biểu thức A luôn nhận giá trị âm. Ta có đpcm.