Question

Cho à các số thực dương thỏa mãn \(abc=1\).Chứng minh rằng :

\(\frac{a^3}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}+\frac{b^3}{\left(1+c\right)\left(1+a\right)}+\frac{c^3}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)}\ge\frac{3}{4}\)

Answer 1

xin lỗi nhé bên trên do đánh nó không hiện nên tưởng không viết được , 

Cộng từng vế của 3 bđt cùngc hiều ta có \(A+\frac{a+b+c+3}{4}>=\frac{3}{4}\left(a+b+c\right)\)

=> \(A>=\frac{a+b+c}{2}-\frac{3}{4}\)

Áp dụng bđts cô si ta có a+b+c>=\(3\sqrt[3]{abc}=3\)

=> A>=\(\frac{3}{4}\)

mình làm hơi tắt cậu chịu khó đọc nhé

Answer 2

bài này Áp dụng bất đẳng thức cô si nhé

đặt \(A=\frac{a^3}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}+\frac{b^3}{\left(1+c\right)\left(1+a\right)}+\frac{c^3}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)}\)

ta có Áp dựng bất đẳng thức cô si ta có \(\frac{a^3}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}+\frac{1+b}{8}+\frac{1+c}{8}>=3\sqrt[3]{\frac{a^3}{64}}=\frac{3a}{4}\)

tương tự ta có \(\frac{b^3}{\left(1+c\right)\left(1+a\right)}+\frac{1+c}{8}+\frac{1+a}{8}>=\frac{3b}{4}\)

                       \(\frac{c^3}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)}+\frac{1_{1+a}}{8}+\frac{1+b}{8}>=\frac{3c}{4}\)

cộng từng vế của 3 bđt cùng chiều ta có \(A>=\frac{3\left(a+b+c\right)}{4}\)

mà 

Answer 3

chó olm.vn

Answer 4

Áp dụng BĐT Bunhiacopsky dạng phân thức ta được

\(\frac{a^3}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}+\frac{b^3}{\left(1+a\right)\left(1+c\right)}+\frac{c^3}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)}\)\(\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{a\left(1+b\right)\left(1+c\right)+b\left(1+c\right)\left(1+a\right)+c\left(1+a\right)\left(1+b\right)}\)

\(=\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)+a+b+c+3abc}\)

Phép chứng minh chỉ hoán tất nếu ta chỉ ra được

\(\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)+a+b+c+3abc}\ge\frac{3}{4}\)

Hay \(4\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge6\left(ab+bc+ca\right)+3\left(a+b+c\right)+9abc\)

Thật vậy, áp dụng BĐT Cauchy tâ được

\(\left(a^2+b^2+c^2\right)^2\ge\left(ab+bc+ca\right)^2\ge3ab\left(a+b+c\right)=3\left(a+b+c\right)\)

Do đó ta có: \(6\left(ab+bc+ca\right)+3\left(a+b+c\right)+9\le6\left(ab+bc+ca\right)+\left(ab+bc+ca\right)^2+9\)

Ta cần chứng minh được

\(6\left(ab+bc+ca\right)+\left(ab+bc+ca\right)^2+9\le4\left(ab+bc+ca\right)^2\)

hay \(\left(ab+bc+ca\right)^2-2\left(ab+bc+ca\right)-3\ge0\)

hay \(\left(ab+bc+ca+1\right)\left(ab+bc+ca-3\right)\ge0\)

Đánh giá cuối luôn đúng vì \(ab+bc+ca\ge3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}=3\)

BĐT đã được chứng minh. Đẳng thức xảy ra <=> a=b=c=1

Answer 5

phải là BĐT Svác-xơ chứ refung BQ