Câu hỏi của Nguyễn Quỳnh Chi

Question

Cho a, b,c là các số dương thảo mãn 2ab+6bc+2ac=7abc. Tìm giá trị nhỏ nhất cảu biểu thức C= $\frac{4ab}{a+2b}$+$\frac{9ac}{a+4c}$+$\frac{4bc}{b+c}$

Phước Nguyễn · Accepted Answer

aaaaaaaaaaaaaCâu trả lời: aaaaaaaaaaaaa

Phước Nguyễn · Answer

Ta có:$2ab+6bc+2ca=7abc$Chia cả hai vế của phương trình trên cho  $abc>0$, ta được:$\frac{6}{a}+\frac{2}{b}+\frac{2}{c}=7$Đặt  $x=\frac{2}{a};$  $y=\frac{1}{b};$  và  $z=\frac{1}{c}$  $\Rightarrow$  $\hept{\begin{cases}x,y,z\in Z_+\3x+2y+2z=7\end{cases}}$Khi đó, ta biểu diễn biểu thức  $C$ dưới dạng ba biến  $x,y,z$  như sau:$C=\frac{4ab}{a+2b}+\frac{9ca}{a+4c}+\frac{4bc}{b+c}=\frac{4}{x+y}+\frac{9}{z+2x}+\frac{4}{y+z}$nên  $C=\left[\frac{4}{x+y}+\left(x+y\right)\right]+\left[\frac{9}{z+2x}+\left(z+2x\right)\right]+\left[\frac{4}{y+z}+\left(y+z\right)\right]-\left(3x+2y+2z\right)$Áp dụng bất đẳng thức  $AM-GM$ cho từng bộ số trong ngoặc luôn dương, ta có:$C\ge4+6+4-7=7$ (do  $3x+2y+2z=7$ )Dấu  $"="$  xảy ra  $\Leftrightarrow$  $\hept{\begin{cases}\frac{4}{x+y}=x+y\\frac{9}{z+2x}=z+2x\\frac{4}{y+z}=y+z\end{cases}}$  $\Leftrightarrow$  $x=y=z=1$Do đó,  $a=2;$  và  $y=z=1$Vậy,  $GTNN$  của  $C$  đạt được là  $7$  $\Leftrightarrow$  $\hept{\begin{cases}x=2\y=z=1\end{cases}}$Câu trả lời: Ta có:$2ab+6bc+2ca=7abc$Chia cả hai vế của phương trình trên cho  $abc>0$, ta được:$\frac{6}{a}+\frac{2}{b}+\frac{2}{c}=7$Đặt  $x=\frac{2}{a};$  $y=\frac{1}{b};$  và  $z=\frac{1}{c}$  $\Rightarrow$  $\hept{\begin{cases}x,y,z\in Z_+\3x+2y+2z=7\end{cases}}$Khi đó, ta biểu diễn biểu thức  $C$ dưới dạng ba biến  $x,y,z$  như sau:$C=\frac{4ab}{a+2b}+\frac{9ca}{a+4c}+\frac{4bc}{b+c}=\frac{4}{x+y}+\frac{9}{z+2x}+\frac{4}{y+z}$nên  $C=\left[\frac{4}{x+y}+\left(x+y\right)\right]+\left[\frac{9}{z+2x}+\left(z+2x\right)\right]+\left[\frac{4}{y+z}+\left(y+z\right)\right]-\left(3x+2y+2z\right)$Áp dụng bất đẳng thức  $AM-GM$ cho từng bộ số trong ngoặc luôn dương, ta có:$C\ge4+6+4-7=7$ (do  $3x+2y+2z=7$ )Dấu  $"="$  xảy ra  $\Leftrightarrow$  $\hept{\begin{cases}\frac{4}{x+y}=x+y\\frac{9}{z+2x}=z+2x\\frac{4}{y+z}=y+z\end{cases}}$  $\Leftrightarrow$  $x=y=z=1$Do đó,  $a=2;$  và  $y=z=1$Vậy,  $GTNN$  của  $C$  đạt được là  $7$  $\Leftrightarrow$  $\hept{\begin{cases}x=2\y=z=1\end{cases}}$

Phước Nguyễn · Answer

Ta có:$2ab+6bc+2ca=7abc$Chia cả hai vế của phương trình trên cho  $abc>0$, ta được:$\frac{6}{a}+\frac{2}{b}+\frac{2}{c}=7$Đặt  $x=\frac{2}{a};$  $y=\frac{1}{b};$  và  $z=\frac{1}{c}$  $\Rightarrow$  $\hept{\begin{cases}x,y,z\in Z_+\3x+2y+2z=7\end{cases}}$Khi đó, ta biểu diễn biểu thức  $C$ dưới dạng ba biến  $x,y,z$  như sau:$C=\frac{4ab}{a+2b}+\frac{9ca}{a+4c}+\frac{4bc}{b+c}=\frac{4}{x+y}+\frac{9}{z+2x}+\frac{4}{y+z}$nên  $C=\left[\frac{4}{x+y}+\left(x+y\right)\right]+\left[\frac{9}{z+2x}+\left(z+2x\right)\right]+\left[\frac{4}{y+z}+\left(y+z\right)\right]-\left(3x+2y+2z\right)$Áp dụng bất đẳng thức  $AM-GM$ cho từng bộ số trong ngoặc luôn dương, ta có:$C\ge4+6+4-7=7$ (do  $3x+2y+2z=7$ )Dấu  $"="$  xảy ra  $\Leftrightarrow$  $\hept{\begin{cases}\frac{4}{x+y}=x+y\\frac{9}{z+2x}=z+2x\\frac{4}{y+z}=y+z\end{cases}}$  $\Leftrightarrow$  $x=y=z=1$Do đó,  $a=2;$  và  $y=z=1$Vậy,  $GTNN$  của  $C$  đạt được là  $7$  $\Leftrightarrow$  $\hept{\begin{cases}x=2\y=z=1\end{cases}}$Câu trả lời: Ta có:$2ab+6bc+2ca=7abc$Chia cả hai vế của phương trình trên cho  $abc>0$, ta được:$\frac{6}{a}+\frac{2}{b}+\frac{2}{c}=7$Đặt  $x=\frac{2}{a};$  $y=\frac{1}{b};$  và  $z=\frac{1}{c}$  $\Rightarrow$  $\hept{\begin{cases}x,y,z\in Z_+\3x+2y+2z=7\end{cases}}$Khi đó, ta biểu diễn biểu thức  $C$ dưới dạng ba biến  $x,y,z$  như sau:$C=\frac{4ab}{a+2b}+\frac{9ca}{a+4c}+\frac{4bc}{b+c}=\frac{4}{x+y}+\frac{9}{z+2x}+\frac{4}{y+z}$nên  $C=\left[\frac{4}{x+y}+\left(x+y\right)\right]+\left[\frac{9}{z+2x}+\left(z+2x\right)\right]+\left[\frac{4}{y+z}+\left(y+z\right)\right]-\left(3x+2y+2z\right)$Áp dụng bất đẳng thức  $AM-GM$ cho từng bộ số trong ngoặc luôn dương, ta có:$C\ge4+6+4-7=7$ (do  $3x+2y+2z=7$ )Dấu  $"="$  xảy ra  $\Leftrightarrow$  $\hept{\begin{cases}\frac{4}{x+y}=x+y\\frac{9}{z+2x}=z+2x\\frac{4}{y+z}=y+z\end{cases}}$  $\Leftrightarrow$  $x=y=z=1$Do đó,  $a=2;$  và  $y=z=1$Vậy,  $GTNN$  của  $C$  đạt được là  $7$  $\Leftrightarrow$  $\hept{\begin{cases}x=2\y=z=1\end{cases}}$

Khoá học trên OLM (olm.vn)

Khoá học trên OLM (olm.vn)