Question

Cho a, b là các số thực không nhỏ hơn 1. Chứng minh:

\(\frac{a}{2a-1}+\frac{b}{2b-1}\ge\frac{4}{1+ab}\)

Answer 1

Ta có : \(\frac{a}{2a-1}+\frac{b}{2b-1}=\frac{1}{\frac{2a-1}{a}}+\frac{1}{\frac{2b-1}{b}}\ge\frac{4}{4-\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)}\)

Do đó cần chứng minh \(\frac{4}{4-\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)}\ge\frac{4}{1+ab}\)

Điều này tương đương với \(4-\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\le1+ab\Leftrightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+ab-3\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{a+b+a^2b^2-3ab}{ab}\ge0\Leftrightarrow\frac{\left(a^2b^2-2ab+1\right)+\left(a+b-ab-1\right)}{ab}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(ab-1\right)^2+\left(a-1\right)\left(b-1\right)}{ab}\ge0\)