Ôn tập cuối năm phần số học

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
minh nguyet

Cho a, b là các số dương. Chứng minh: \(\dfrac{1}{a}\)+\(\dfrac{1}{b}\)=>\(\dfrac{4}{a+b}\)

Phạm Nguyễn Tất Đạt
15 tháng 4 2018 lúc 19:47

\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a+b}{ab}\ge\dfrac{4}{a+b}\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\)

\(\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2\ge4ab\)

\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)(đúng)

=>đpcm

Lưu Thị Thu Kiều
15 tháng 4 2018 lúc 20:00

Biến đổi tương đương:

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b} \geq \frac{4}{a+b} \\ \Leftrightarrow \frac{a+b}{ab} \geq \frac{4}{a+b} \\ \Leftrightarrow \frac{(a+b)^2}{ab(a+b)} \geq \frac{4ab}{ab(a+b)}$

Biểu thức trên luôn đúng do:

$\begin {cases} a+b >0 \\ ab>0 \\ a^2+b^2 \geq 2ab \to (a+b)^2 \geq 4ab \end {cases}$

CAO Thị Thùy Linh
25 tháng 4 2018 lúc 12:27

1/a + 1/b ≥ 4/(a + b)

⇔ (a + b)/ab ≥ 4/(a + b) , do a,b > 0 --> ab > 0 và a + b > 0, quy đồng 2 vế

⇔ (a + b)² ≥ 4ab

⇔ a² + 2ab + b² ≥ 4ab

⇔ a² - 2ab + b² ≥ 0

⇔ (a - b)² ≥ 0 luôn đúng ∀ a,b > 0

--> đpcm

Dấu " = " xảy ra ⇔ a = b

CAO Thị Thùy Linh
25 tháng 4 2018 lúc 12:28

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số dương 1/a và 1/b ta có
Ta có: 1/a + 1/b ≥ 2/√(ab)
lại có √ab = √a.√b ≤ (a + b)/2, cũng là bđt Cô-si
(hoặc có thể hiểu:
(√a - √b)² ≥ 0 --> a - 2√a.√b + b ≥ 0 --> a + b ≥ 2√a.√b --> √a.√b ≤ (a + b)/2 )

--> 1/a + 1/b ≥ 2/√(ab) ≥ 2/[(a + b)/2] = 4/(a + b) --> đpcm

Dấu " = " xảy ra ⇔ a = b

CAO Thị Thùy Linh
25 tháng 4 2018 lúc 12:31

Áp dụng bất đẳng thức bunhiacôpxki , ta có

(a + b)(1/a + 1/b) ≥ (√a.1/√a + √b.1/√b)² = (1 + 1)² = 4
<--> (a + b)(1/a + 1/b) ≥ 4
<--> 1/a + 1/b ≥ 4/(a + b)

Dấu " = " xảy ra ⇔ a = b


Các câu hỏi tương tự
Nguyễn Thị Hương
Xem chi tiết
Như Dương
Xem chi tiết
Emilia Nguyen
Xem chi tiết
Huỳnh Kiệt
Xem chi tiết
Quách Trần Gia Lạc
Xem chi tiết
Aeri Park
Xem chi tiết
Phạm Thị Cẩm Huyền
Xem chi tiết
Nguyễn Trần An Thanh
Xem chi tiết
Lê Vũ Hải Yến
Xem chi tiết