Ta chứng minh:
\(\frac{a}{1-a^2}\ge\frac{3\sqrt{3}}{2}a^2\)
\(\Leftrightarrow a\left(1-a^2\right)\le\frac{2}{3\sqrt{3}}\)
\(\Leftrightarrow2a^2\left(1-a^2\right)\left(1-a^2\right)\le\frac{8}{27}\)
Ta có: \(VT\le\frac{\left(2a^2+1-a^2+1-a^2\right)^3}{27}=\frac{8}{27}\)
\(\Rightarrow DPCM\)
Quay lại bài toán ta có:
\(\frac{a}{b^2+c^2}+\frac{b}{c^2+a^2}+\frac{c}{a^2+b^2}=\frac{a}{1-a^2}+\frac{b}{1-b^2}+\frac{c}{1-c^2}\)
\(\ge\frac{3\sqrt{3}}{2}\left(a^2+b^2+c^2\right)=\frac{3\sqrt{3}}{2}\)
Vì \(a^2+b^2+c^2=1\Rightarrow\frac{3\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\)
Tức cần chứng minh \(\frac{a}{b^2+c^2}+\frac{b}{c^2+a^2}+\frac{c}{a^2+b^2}\ge\frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\)
BĐT trên thuần nhất nên ta chuẩn hoá \(a^2+b^2+c^2=3\)
\(BDT\Leftrightarrow\frac{a}{b^2+c^2}+\frac{b}{c^2+a^2}+\frac{c}{a^2+b^2}\ge\frac{3}{2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a}{3-a^2}+\frac{b}{3-b^2}+\frac{c}{3-c^2}\ge\frac{3}{2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a}{3-a^2}-\frac{1}{2}+\frac{b}{3-b^2}-\frac{1}{2}+\frac{c}{3-c^2}-\frac{1}{2}-\frac{a^2+b^2+c^2}{2}+\frac{3}{2}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{a}{3-a^2}-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\left(a^2-1\right)\right)+\left(\frac{b}{3-b^2}-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\left(b^2-1\right)\right)+\left(\frac{c}{3-c^2}-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\left(c^2-1\right)\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{a\left(a+2\right)\left(a-1\right)^2}{6-2a^2}+\frac{b\left(b+2\right)\left(b-1\right)^2}{6-2b^2}+\frac{c\left(c+2\right)\left(c-1\right)^2}{6-2c^2}\ge0\) *ĐÚNG*
đặt \(b^2+c^2=x\) và \(b^2+c^2=y\) ,\(c^2+a^2=z\)với x,y,z >0 ta có x+y+z = 2lúc đó biểu thức được cần chứng minh được viết lại là\(\frac{1}{\sqrt{2}}(\frac{\sqrt{y+z-x}}{x}+\frac{\sqrt{x+z-y}}{y}+\frac{\sqrt{x+y-z}}{z})\) \(\ge\)\(\frac{3\sqrt{3}}{2}\)
mặt khác lại có\(\frac{\sqrt{y+z-x}}{x}=\frac{\sqrt{2-2x}}{x}=\frac{2-2x}{\sqrt{x}\sqrt{x}\sqrt{2-2x}}\)mà theo bđt côsi thì \(\sqrt{x}\sqrt{x}\sqrt{2-2x}\le\sqrt{\frac{(x+x+2-2x)^3}{27}}=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{27}}\)=> \(\frac{2-2x}{x\sqrt{2-2x}}\ge\frac{\sqrt{27}}{2\sqrt{2}}.(2-2x)\)tương tự với 2 biểu thức còn lại ta được\(\frac{1}{\sqrt{2}}(\frac{\sqrt{y+z-x}}{x}+\frac{\sqrt{x+z-y}}{y}+\frac{\sqrt{x+y-z}}{z})\) \(\ge\)\(\frac{\sqrt{27}}{2\sqrt{2}\sqrt{2}}(2-2x+2-2y+2-2z)\)\(=\frac{\sqrt{27}}{2\sqrt{2}\sqrt{2}}(6-2x-2y-2z)=\frac{\sqrt{27}\sqrt{2}}{2\sqrt{2}\sqrt{2}}(6-4)=\frac{3\sqrt{3}}{2}\)ĐPCM
cách giải của anh alibaba tuy ngắn gọn nhưng lại phải sử dụng tới tham số hóa để tìm bất đẳng thức phụ mà lớp 9 lại chưa học kĩ thuật này nên có lẽ cách này sẽ phù hợp với các bạn hơn ạ
xin lỗi nhưng bạn tự làm được không ?
dbtgdfnhhjg,gbfrtnhuicegnikbt
jbcjbjdbjdbhbhkbhbdhk
