Ta có: \(\frac{a^3}{a^2+b^2}=\frac{\left(a^3+ab^2\right)-ab^2}{a^2+b^2}=a-\frac{ab^2}{a^2+b^2}\ge a-\frac{ab^2}{2ab}=a-\frac{b}{2}\)
Tương tự CM được:
\(\frac{b^3}{b^2+c^2}\ge b-\frac{c}{2}\) và \(\frac{c^3}{c^2+a^2}\ge c-\frac{a}{2}\)
Cộng vế 3 BĐT trên lại ta được:
\(\frac{a^3}{b^2+c^2}+\frac{b^3}{b^2+c^2}+\frac{c^3}{c^2+a^2}\ge\frac{a+b+c}{2}=3\)
Dấu "=" xảy ra khi: a = b = c = 2
Cho hai biểu thức $A=\dfrac{2 \sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}$ và $B=\dfrac{x-3 \sqrt{x}+4}{x-2 \sqrt{x}}-\dfrac{1}{\sqrt{x}-2}$ với $x>0, x \neq 4$.
1) Tính giá trị của $A$ khi $x=9$.
2) Rút gọn biểu thức $B$.
3) Cho $P=\dfrac{B}{A}$. Tìm $x$ để $|P|+P=0$.
Cho đường tròn $(O ; R)$ và dây $B C$ cố định không qua $O$. Trên tia đối của tia $B C$ lấy điểm $A$ khác $B$. Từ $A$ kẻ các tiếp tuyến $A M, A N$ với đường tròn ($M, N$ là tiếp điểm).
1) Chứng minh bốn điểm $A, M, O, N$ cùng thuộc một đường tròn.
2) $M N$ cắt $O A$ tại $H$. Chứng minh $O A \perp M N$ và $A H . A O=A B . A C$.
3) Chứng minh khi $A$ thay đổi trên tia đối của tia $B C$, đường thẳng $M N$ luôn đi qua một điểm cố định.
Trong mặt phẳng tọa độ $O x y$ cho parabol $(P): y=x^{2}$ và đường thẳng $(d): y=(2 m-1) x-m^{2}+2$ ($m$ là tham số)
a) Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng $(d)$ và parabol $(P)$ khi $m=2$.
b) Tìm các giá trị của tham số $m$ để $(d)$ cắt $(P)$ tại $2$ điểm phân biệt có hoành độ $x_{1}, x_{2}$ thỏa mãn $x_{1}-3 x_{2}=7$.
1) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoăc hệ phương trình:
Một mảnh vườn hình chữ nhật có chu vi bằng $34$m. Nếu tăng chiều dài thêm $2$m và tăng chiều rộng thêm $3$m thì diện tích tăng thêm $50$m$^2$. Tính chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn.
2) Một thuyền đánh cá chuẩn bị $10$ thùng dầu để ra khơi, mỗi thùng là một hình trụ có đường kính đáy là $0,6$m, chiều cao là $1,5$m. Hỏi thuyền đó đã chuẩn bị bao nhiêu lít dầu? (Bỏ qua độ dày của vỏ thùng, lấy $\pi \approx 3,14$).
