Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Quang Lee

Cho a, b, c ϵ N*; thỏa mãn a . b = c.(a + b). Trong đó a và c nguyên tố cùng nhau. Chứng minh a.b.c là số chính phương.

Mọi người giải bằng kiến thức lớp 6(hoặc lớp 7) đều được ạ. Em đang cần lắm ạ. Em cảm ơn mọi người!!!!

Trần Minh Thư
11 tháng 5 2023 lúc 19:32

Ta có: a.b = c.(a + b) => a.b + c^2 = c.(a + b + c)

Do a và c nguyên tố cùng nhau nên (a, c) = 1. Từ đó suy ra (a^2, c) = 1 và (b^2, c) = 1.

Mà a.b + c^2 = c.(a + b + c) nên ta có:

a.b + c^2 ≡ 0 (mod c)

a.b ≡ -c^2 (mod c)

a.b ≡ 0 (mod c)

Vì (a, c) = 1 nên ta có (b, c) = 1.

Từ a.b = c.(a + b) và (a, c) = 1, suy ra a|b. Đặt b = a.k (k là số tự nhiên).

Thay vào a.b = c.(a + b), ta được:

a^2.k = c.(a + a.k) => k = c/(a^2 - c)

Vì k là số tự nhiên nên a^2 - c | c. Nhưng (a, c) = 1 nên a^2 - c không chia hết cho c. Do đó a^2 - c = 1.

Từ đó suy ra c = a^2 - 1.

Vậy a.b.c = a^2.b - b là số chính phương.


Các câu hỏi tương tự
Hà Thị Lan Phương
Xem chi tiết
Phạm Đức Huy
Xem chi tiết
Nguyễn Hà Anh
Xem chi tiết
Phạm Trần Quỳnh Như
Xem chi tiết
Ruby Kurosawa
Xem chi tiết
thái trần
Xem chi tiết
Hoàng Xuân Ngân
Xem chi tiết
hoàng linh băng
Xem chi tiết
-..-
Xem chi tiết