Question

Cho a , b , c là số đo ba cạnh của một tam giác . Chứng minh rằng : \(a^2b+b^2c+c^2a+ca^2+bc^2+ab^2-a^3-b^3-c^3>0\)

 

Answer 1

a²b+b²c+c²a+ca²+bc²+ab²-a³-b³-c³

=(a²b+a²c-a³)+(b²c+ab²-b³)+(c²a+c²b-c³)

=a²(b+c-a)+b²(a+c-b)+c²(a+b-c)

áp dụng bất đẳng thức tam giác vào tam giác có các số đo=a;b;c ta có:

a+b>c

=>a+b-c>0

b+c>a

=>b+c-a>0

c+a>b

=>c+a-b>0

=>a²(b+c-a)+b²(a+c-b)+c²(a+b-c)>0

=>a²b+b²c+c²a+ca²+bc²+ab²-a³-b³-c³>0

=>đpcm

Answer 2

a²b+b²c+c²a+ca²+bc²+ab²-a³-b³-c³

=(a²b+a²c-a³)+(b²c+ab²-b³)+(c²a+c²b-c³)

=a²(b+c-a)+b²(a+c-b)+c²(a+b-c)

áp dụng bất đẳng thức tam giác vào tam giác có các số đo=a;b;c ta có:

a+b>c

=>a+b-c>0

b+c>a

=>b+c-a>0

c+a>b

=>c+a-b>0

=>a²(b+c-a)+b²(a+c-b)+c²(a+b-c)>0

=>a²b+b²c+c²a+ca²+bc²+ab²-a³-b³-c³>0

=>đpcm