Question

Cho A ,B, C là đường dài ba cạnh của một tam giác chứng minh (1+a/b)(1+b/c)(1+c/a)>=8 khi dấu đẳng thức xảy ra thì tam giác đã cho là tam giác gì

Answer 1

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si vào biểu thức \(1+\dfrac{a}{b}\), ta có:

\(1+\dfrac{a}{b}\ge2\sqrt{\dfrac{a}{b}}\)    (1)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si vào biểu thức \(1+\dfrac{b}{c}\), ta có:

\(1+\dfrac{b}{c}\ge2\sqrt{\dfrac{b}{c}}\)    (2)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si vào biểu thức \(1+\dfrac{c}{a}\), ta có:

\(1+\dfrac{c}{a}\ge2\sqrt{\dfrac{c}{a}}\)    (3)

Từ (1), (2) và (3)

\(\Rightarrow\left(1+\dfrac{a}{b}\right)\left(1+\dfrac{b}{c}\right)\left(1+\dfrac{c}{a}\right)\ge2\sqrt{\dfrac{a}{b}}.2\sqrt{\dfrac{b}{c}}.2\sqrt{\dfrac{c}{a}}\)\(\Rightarrow\left(1+\dfrac{a}{b}\right)\left(1+\dfrac{b}{c}\right)\left(1+\dfrac{c}{a}\right)\ge8\) (vì \(\sqrt{\dfrac{a}{b}}.\sqrt{\dfrac{b}{c}}.\sqrt{\dfrac{c}{a}}=1\))

Answer 2

Dấu "=" xảy ra khi a = b = c. Khi đó tam giác đã cho là tam giác đều