Question

Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng 

a / b + c + b / c + a + c / c + b nhỏ hơn 2

Answer 1

GIẢI

 Giả sử : \(a\ge b\ge c>0\) thì \(a+b\ge a+c\ge b+c\)

 Ta có : \(\frac{a}{b+c}=\frac{a}{b+c}\)

          \(\frac{b}{c+a}\le\frac{b}{b+c}\)

           \(\frac{c}{a+b}\le\frac{c}{b+c}\)

Cộng vế theo vế ta được :
\(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{c+b}\le\frac{a+b+c}{b+c}\)

Hay : \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{c+b}\le\frac{a}{b+c}+1< 1+1=2\)

Vậy \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{c+b}< 2\)

Chúc bạn học tốt !!!

Answer 2

GIẢI

 Giả sử : a\ge b\ge c&gt;0a≥b≥c>0 thì a+b\ge a+c\ge b+ca+b≥a+c≥b+c

 Ta có : \frac{a}{b+c}=\frac{a}{b+c}b+ca​=b+ca​

          \frac{b}{c+a}\le\frac{b}{b+c}c+ab​≤b+cb​

           \frac{c}{a+b}\le\frac{c}{b+c}a+bc​≤b+cc​

Cộng vế theo vế ta được :
\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{c+b}\le\frac{a+b+c}{b+c}b+ca​+c+ab​+c+bc​≤b+ca+b+c​

Hay : \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{c+b}\le\frac{a}{b+c}+1&lt; 1+1=2b+ca​+c+ab​+c+bc​≤b+ca​+1<1+1=2

Vậy \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{c+b}&lt; 2b+ca​+c+ab​+c+bc​<2