Question

cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của tam giác. Chứng minh ab+ac+bc <= a²+b²+c²​ < 2 (ab+ac+bc)

Answer 1

Ta có (a+b)² >=0 => a² + 2ab + b² >= 0 => a² + b² >= 2ab. (1)

         (b+c)² >=0 => b² + 2bc + c² >= 0 => b² + c² >= 2bc. (2)

         (c+a)² >=0 => c² + 2ca + a² >= 0 => c² + a² >= 2ca. (3)

Cộng (1), (2), (3), theo vế ta có 2(a² + b² + c²)>=2(ab+bc+ca)

suy ra a² + b² + c²>=ab+bc+ca (*)

Áp dụng bất đẳng thức trong tam giác ta có:

a+b>c => ac+bc>c². (4)

b+c>a => ab+ac>a². (5)

c+a>b => bc+ab>b². (6)

Cộng (4), (5), (6) theo vế ta có 2(ab+bc+ca)>a²+b²+c²(**)

Từ (*) và (**) suy ra đpcm.

Answer 2

xfffff

Answer 3

Trong tam giác tổng độ dài hai cạnh lớn hơn cạnh thứ 3.Vậy có:

b+c>a

Nhân 2 vế với a>0 ta có: a.b+a.c > a² (1)

Tương tự ta có : b.c+b.a > b² (2) và a.c+b.a > c² (3)

Cộng vế với vế của (1),(2),(3) ta được :

2(a.b+b.c+c.a) > a²+b²+c²

Không hiểu thì nhắn tin hỏi mình nha!!!!

Answer 4

Giải:

\(ab+bc+ca\le a^2+b^2+c^2\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(a-c\right)^2+\left(b-c\right)^2\)

Mà \(a>|b-c|,b>|a-c|,c>|a-b|\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a^2>b^2-2bc+c^2\\b^2>a^2-2ac+c^2\\c^2>a^2-2ab+b^2\end{cases}}\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2< 2\left(ab+bc+ca\right)\)

Vậy \(ab+ac+bc\le a^2+b^2+c^2< 2\left(ab+ac+bc\right)\) (Đpcm) 

Answer 5

thank you very much

Answer 6

Ta có ﴾a+b﴿2 >=0 => a 2 + 2ab + b 2 >= 0 => a 2 + b 2 >= 2ab. ﴾1﴿ ﴾b+c﴿2 >=0 => b 2 + 2bc + c 2 >= 0 => b 2 + c 2 >= 2bc. ﴾2﴿ ﴾c+a﴿2 >=0 => c 2 + 2ca + a 2 >= 0 => c 2 + a 2 >= 2ca. ﴾3﴿ Cộng ﴾1﴿, ﴾2﴿, ﴾3﴿, theo vế ta có 2﴾a 2 + b 2 + c 2 ﴿>=2﴾ab+bc+ca﴿ suy ra a 2 + b 2 + c 2>=ab+bc+ca ﴾*﴿ Áp dụng bất đẳng thức trong tam giác ta có: a+b>c => ac+bc>c 2 . ﴾4﴿ b+c>a => ab+ac>a 2 . ﴾5﴿ c+a>b => bc+ab>b 2 . ﴾6﴿ Cộng ﴾4﴿, ﴾5﴿, ﴾6﴿ theo vế ta có 2﴾ab+bc+ca﴿>a 2+b 2+c 2 ﴾**﴿ Từ ﴾*﴿ và ﴾**﴿ suy ra đpcm.