Question

Cho a, b, c là các số tự nhiên khác 0. Chứng minh rằng:1<  a/a+b + b/b+c + c/c+a <2

Answer 1

\(\frac{a}{c+b}>\frac{a}{a+b+c},\frac{b}{a+c}>\frac{b}{a+b+c},\frac{c}{a+b}>\frac{c}{a+b+c}\)

\(\Rightarrow\frac{a}{c+b}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}>\frac{a+b+c}{a+b+c}=1\)

Lại có : \(\frac{a}{c+b}< \frac{2a}{a+b+c},\frac{b}{a+c}< \frac{2b}{a+b+c},\frac{c}{a+b}< \frac{2c}{a+b+c}\)

\(\Rightarrow\frac{a}{c+b}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}< \frac{2a+2b+2c}{a+b+c}=2\)

=> đpcm

Answer 2

\(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\)

\(\frac{a}{a+b}>\frac{a}{a+b+c}\)và\(\frac{b}{b+c}>\frac{b}{b+c+a}\)và \(\frac{c}{c+a}>\frac{c}{c+a+b}\)

\(\Rightarrow\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}>\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{a+b+c}\)

\(\Rightarrow\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}< 1\)

Vì \(\frac{a}{a+b}< 1\Rightarrow\frac{a}{a+b}< \frac{a+c}{a+b+c}\left(c>0\right)\)

Chứng minh tương tự \(\frac{b}{b+c}< \frac{b+a}{b+c+a}\)

\(\Rightarrow\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}< 2\)

Vậy \(1< \frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}< 2\)

Answer 3

Mình chưa hiểu chỗ a/a+b<a+c/a+b+c . Bạn giải thích cho mình đi

Answer 4

cộng c cả tử và mẫu

Answer 5

+)Ta có:\(\frac{a}{a+b}>\frac{a}{a+b+c};\frac{b}{b+c}>\frac{b}{a+b+c};\frac{c}{c+a}>\frac{c}{c+a+b}\)

=>\(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}>\frac{a+b+c}{a+b+c}=1\)

=>\(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}>1\)(1)

+)Ta lại có:\(\frac{a}{a+b}< 1=>\frac{a}{a+b}< \frac{a+c}{a+b+c}\)

                   \(\frac{b}{c+b}< 1=>\frac{b}{c+b}< \frac{b+a}{a+b+c}\)

                    \(\frac{c}{a+c}< 1=>\frac{c}{a+c}< \frac{b+c}{a+b+c}\)

=>\(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}< \frac{a+c+b+a+c+b}{a+b+c}=\frac{2a+2b+2c}{a+b+c}=\frac{2.\left(a+b+c\right)}{a+b+C}=2\)

=>\(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}< 2\)(2)

+)Từ (1) và (2)

=>\(1< \frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}< 2\)

Chúc bn học tốt

Answer 6

Trinh Anh Tan ta có :\(\frac{a}{b}< 1=>\frac{a}{b}< \frac{a+c}{b+c}\)

Chúc bn học tốt và hiểu bài mk làm