Question

cho a; b ; c là các số thực không âm có a+b+c=1 c/m rằng:

2(a^3+b^3+c^3)+3abc lớn hơn hoạc bằng a^2+b^2+c^2

Answer 1

Ta có a² - (b - c)²  <= a² 

<=>(a+b-c)(a-b+c) <= a²

Tương tự

(b-c+a)(b-a+c) <= b²

(c-a+b)(c-b+a) <= c²

Từ đó ta có (b-c+a)²(b-a+c)²(c-b+a)² <= a² b² c²

<=> (c-b+a)(b-c+a)(b-a+c) <= abc (nhân vô chuyển vế nha)

<=> (a² b + a² c) + (b² a + b² c) + (c² a + c² b) <= a³ + b³ + c³ + 3abc

<=> a² (a+b+c) + b² (a+b+c) + c² (a+b+c) <= 2(a³ + b³ + c³) + 3abc ( cộng 2 vế cho  

Ta có a² - (b - c)²  <= a² 

<=>(a+b-c)(a-b+c) <= a²

Tương tự

(b-c+a)(b-a+c) <= b²

(c-a+b)(c-b+a) <= c²

Từ đó ta có (b-c+a)²(b-a+c)²(c-b+a)² <= a² b² c²

<=> (c-b+a)(b-c+a)(b-a+c) <= abc

<=> (a² b + a² c) + (b² a + b² c) + (c² a + c² b) <= a³ + b³ + c³ + 3abc

<=> a² (a+b+c) + b² (a+b+c) + c² (a+b+c) <= 2(a³ + b³ + c³) + 3abc (cộng 2 vế cho  a³ + b³ + c³)

<=> a² + b² + c² <= 2(a³ + b³ + c³ ) + 3abc

Xong