Question

Cho a , b , c là các số thực dương thỏa : \(a+b+c=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\)

Chứng minh : \(\frac{a^6+b^6+c^6}{a^3+b^3+c^3}=abc\)

 

Answer 1

    DO \(a+b+c=0\)

=>\(a^3+b^3+c^3=3abc\)

 DO \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\)

=> \(ab+ac+bc=0\)

TA CÓ \(\left(a^3+b^3+c^3\right)^2\)

       = \(a^6+b^6+c^6+2\left(a^3b^3+b^3c^3+a^3c^3\right)=9a^2b^2c^2\)

DO \(ab+ac+bc=0\)

=> \(a^3b^3+b^3c^3+a^3c^3=0\)

=> \(a^6+b^6+c^6=9a^2b^2c^2\)

=> \(\frac{a^6+b^6+c^6}{a^3+b^3+c^3}=\frac{9a^2b^2c^2}{3abc}=3abc\)

      

Answer 2

Ta có\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\) nên ab + bc + ca = 0. Kết hợp với a + b + c = 0 ta được a² + b² + c² = 0.

Sử dụng phân tích: a³ + b³ + c³ - 3abc = (a + b + c)(a² + b² + c² - ab - bc - ca) trong điều kiện a + b + c = 0 và a² + b² + c² = 0 ta được:

nên a³ + b³ + c³ = 3abc.   (1)

và a⁶ + b⁶ + c⁶ = 3a²b²c².   (2)

từ (1) và (2) suy ra đpcm.