Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(a+b\ge2\sqrt{ab}\Rightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\)
\(\Rightarrow\frac{ab}{a+b}\le\frac{a+b}{4}\).Thiết lập các BĐT tương tự:
\(\frac{bc}{b+c}\le\frac{b+c}{4};\frac{ca}{c+a}\le\frac{c+a}{4}\)
Cộng theo vế các BĐT trên ta có:
\(\frac{ab}{a+b}+\frac{bc}{b+c}+\frac{ca}{c+a}\le\frac{2\left(a+b+c\right)}{4}=\frac{a+b+c}{2}\)
Cho a , b , c là các số thực dương . Chứng minh rằng :
\(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\le\frac{a^2+bc}{\left(b+c\right)^2}+\frac{b^2+ca}{\left(c+a\right)^2}+\frac{c^2+ab}{\left(a+b\right)^2}\)
Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 1. Chứng minh rằng: \(\frac{\sqrt{a^2+abc}}{c+ab}+\frac{\sqrt{b^2+abc}}{a+bc}+\frac{\sqrt{c^2+abc}}{b+ca}\le\frac{1}{2\sqrt{abc}}\)
cho các số thực dương a,b,c chứng minh rằng
\(\frac{ab}{a+b+2c}+\frac{bc}{b+c+2a}+\frac{ca}{c+a+2b}\le\frac{1}{4}\left(a+b+c\right)\)
Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh \(\frac{ab}{a+b+2c}+\frac{bc}{b+c+2a}+\frac{ca}{c+a+2b}\le\frac{1}{4}\left(a+b+c\right)\)
Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn: \(ab+bc+ca=abc\)
Chứng minh rằng: \(\frac{a}{bc\left(a+1\right)}+\frac{b}{ac\left(b+1\right)}+\frac{c}{ab\left(c+1\right)}\le\frac{1}{4}\)
cho các số dương a,b,c sao cho a+b+c=1. Chứng minh rằng: \(\sqrt{\frac{ab}{c+ab}}+\sqrt{\frac{bc}{a+bc}}+\sqrt{\frac{ca}{b+ca}}\le\frac{3}{2}\)
Cho 3 số thực dương a,b,c thỏa mãn ab+bc+ca=1
Chứng minh rằng: \(\frac{a}{\sqrt{1+a^2}}+\frac{b}{\sqrt{1+b^2}}+\frac{c}{\sqrt{1+c^2}}\le\frac{3}{2}.\)
chờ a,b,c là các số thực dương thỏa mãn \(ab+bc+ac=\) \(3\)
chứng minh rằng \(\frac{bc+4}{a^2+4}+\frac{ca+4}{b^2+4}+\frac{ab+4}{c^2+4}\le3\le\frac{bc+2}{a^2+2}+\frac{ca+2}{b^2+2}+\frac{ab+2}{c^2+2}\)
Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng :
\(\frac{a^3}{a^2+b^2+ab}+\frac{b^3}{b^2+c^2+bc}+\frac{c^3}{c^2+a^2+ca}\ge\frac{a+b+c}{3}\)
