BĐT đã cho tương đương với :
\(\left(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{a}\right)^2\ge2\left(a^2+b^2\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(a^3+b^3\right)^2}{\left(ab\right)^2}\ge2\left(a^2+b^2\right)\Leftrightarrow\frac{\left(a^3+b^3\right)^2-2\left(a^2+b^2\right)\left(ab\right)^2}{\left(ab\right)^2}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^6+b^6+2a^3b^3-2a^4b^2-2a^2b^4}{a^2b^2}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^4\left(a^2-b^2\right)+b^4\left(b^2-a^2\right)+2a^3b^3-a^4b^2-a^2b^4}{a^2b^2}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(a^2-b^2\right)\left(a^4-b^4\right)+a^2b^2\left(2ab-a^2-b^2\right)}{a^2b^2}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)^2\left(a^2+b^2\right)-a^2b^2\left(a-b\right)^2}{a^2b^2}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(a-b\right)^2\left[\left(a+b\right)^2\left(a^2+b^2\right)-a^2b^2\right]}{a^2b^2}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(a-b\right)^2\left(a^4+b^4+a^2b^2+2a^3b+2ab^3\right)}{a^2b^2}\ge0\)
Dấu "=" xảy ra khi a = b khác 0
