Question

Cho a, b, c là các số dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của P = ( a + b + c) ( 1/a + 1/b + 1/c) 

Answer 1

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM:\(P=\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge3\sqrt[3]{abc}.3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}=9\)

Vậy MinP=9 đạt được khi a=b=c
 

Answer 2

Ta có : \(P=1+\frac{a}{b}+\frac{a}{c}++\frac{b}{a}+1+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{c}{b}+1\)

                  = \(3+\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)\)

Mặt khác \(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\) với mọi \(x,y\) dương 

\(\Rightarrow P\ge3+2+2+2=9\)

Vậy \(P_{min}=9\) khi \(a=b=c\)

             Chúc bạn học tốt !!!