Cách 1:
Ta có: \(\sqrt{\frac{ab}{c+ab}}=\sqrt{\frac{ab}{c\left(a+b+c\right)+ab}}=\sqrt{\frac{ab}{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{a}{c+a}+\frac{b}{c+b}\right)\)
Tương tự với \(\sqrt{\frac{bc}{a+bc}},\sqrt{\frac{ca}{b+ca}}\)rồi cộng các vế lại với nhau ta sẽ có
\(P\le\frac{3}{2}\)
Dấu đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
Vậy....
bài này có 2 cách liền á bạn chờ tí mk đăng cả 2 cách lên cho
Cách 2 tương tự nhưng chi tiết hơn
Ta có:\(c+ab=c\left(a+b+c\right)+ab=\left(c+a\right)\left(c+b\right)\)
Tương tự với a+bc+b+ca
\(\Rightarrow\sqrt{\frac{ab}{c+ab}}+\sqrt{\frac{bc}{a+bc}}+\sqrt{\frac{ca}{b+ca}}\le\text{∑}\sqrt{\frac{ab}{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}}\)
\(\le\frac{1}{2}\left(\frac{a}{a+c}+\frac{b}{c+b}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{c}{c+b}+\frac{a}{a+b}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{c}{c+a}+\frac{b}{a+b}\right)=\frac{3}{2}\)
Vậy \(P\le\frac{3}{2}\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}\)
