Áp dụng Côsi cho 2 số dương \(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}\), ta có:
\(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}\ge2\sqrt{\frac{ab}{c}.\frac{bc}{a}}=2b\) (1)
Hoàn toàn tương tự: \(\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\ge2c\) (2)
\(\frac{ab}{c}+\frac{ca}{b}\ge2a\) (3)
Cộng vế với vế (1), (2), (3), ta được:
\(2\left(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\right)\ge2\left(a+b+c\right)\)
\(\Rightarrow a+b+c\le\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\)
\(\Rightarrowđpcm\)