Violympic toán 9

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Nguyễn Thị Ngọc Hân

Tam giác ABC có các cạnh là: a,b,c. Gọi 2p là chu vi tam giác. CMR:

a) \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}>=\frac{4}{a+b}\)

b) \(\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}>=2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)

Cho 2p=18. Tìm GTNN của a2+b2+c2

Nguyễn Việt Lâm
25 tháng 2 2020 lúc 14:36

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\Leftrightarrow\frac{a+b}{ab}\ge\frac{4}{a+b}\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) (luôn đúng)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b\)

b/ Áp dụng BĐT ở câu a:

\(\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}\ge\frac{4}{2p-\left(a+b\right)}=\frac{4}{c}\)

Tương tự: \(\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}\ge\frac{4}{a}\) ; \(\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-c}\ge\frac{4}{b}\)

Cộng vế với vế: \(2\left(\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}\right)\ge2\left(\frac{2}{a}+\frac{2}{b}+\frac{2}{c}\right)\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)

c/ \(2p=a+b+c=18\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge\frac{1}{3}\left(a+b+c\right)^2=\frac{18^2}{3}=108\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=6\)

Khách vãng lai đã xóa

Các câu hỏi tương tự
Machiko Kayoko
Xem chi tiết
Nguyễn Phương Oanh
Xem chi tiết
Lê Trường Lân
Xem chi tiết
asuna
Xem chi tiết
Thảo Phương
Xem chi tiết
WANNA ONE
Xem chi tiết
khoimzx
Xem chi tiết
Quang Huy Điền
Xem chi tiết
khoimzx
Xem chi tiết