Bài 1: Cho a,b,c là đọ dài 3 cạnh của 1 tam giác có chu vi bằng 4. CMR: \(\frac{1}{a}\) + \(\frac{1}{b}\) + \(\frac{1}{c}\) + 8 > 9(\(\frac{1}{a+b}\) + \(\frac{1}{b+c}\) + \(\frac{1}{c+a}\))
Bài 2: Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác. CMR: \(\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\) + \(\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\) + \(\frac{c^2+a^2-b^2}{2ca}\) > 1
Cho a,b,c > 0 và a+b+c ≤ 1. CMR: A = \(\frac{1}{a^2+2bc}+\frac{1}{b^2+2ca}+\frac{1}{c^2+2ab}\) ≥ 9
cho a,b,c>0 thỏa mãn a+b+c=3. CMR: \(\frac{1}{2ab^2+1}+\frac{1}{2bc^2+1}+\frac{1}{2ca^2+1}\ge1\)
Tam giác ABC có các cạnh là: a,b,c. Gọi 2p là chu vi tam giác. CMR:
a) \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}>=\frac{4}{a+b}\)
b) \(\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}>=2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
Cho 2p=18. Tìm GTNN của a2+b2+c2
Ôn tập Bất đẳng thức
1 , Cho a,b,c<3 thỏa mãn abc(a+b+c)=3 . Tìm GTNN của C= \(\frac{a}{\sqrt{9-b^2}}+\frac{b}{\sqrt{9-c^2}}+\frac{c}{\sqrt{9-a^2}}\)
2, Cho a,b,c>0 thỏa mãn \(a^2+b^2+c^2=3\)
Chứng minh a, \(\frac{1}{4-\sqrt{ab}}+\frac{1}{4-\sqrt{bc}}+\frac{1}{4-\sqrt{ca}}\le1\)
b, \(\frac{2a^2}{a+b^2}+\frac{2b^2}{b+c^2}+\frac{2c^2}{c+a^2}\ge a+b+c\)
3, Cho a,b,c >0 và \(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}=1\)
Tính GTLN của P= \(\frac{1}{\sqrt{5a^2+2ab+2b^2}}+\frac{1}{\sqrt{5b^2+2bc+2c^2}}+\frac{1}{\sqrt{5c^2+2ca+2a^2}}\)
4 , Cho a,b,c>0 và \(ab+bc+ca\ge a+b+c\)
Chứng minh \(\frac{a^2}{\sqrt{a^3+8}}+\frac{b^2}{\sqrt{b^3+8}}+\frac{c^2}{\sqrt{c^3+8}}\ge1\)
Cho a,b,c là các số dương và \(a+b+c\le1\)
Chứng minh \(\frac{1}{a^2+2bc}+\frac{1}{b^2+2ca}+\frac{1}{c^2+2ab}\ge\)9
Bài 1 : Cho tam giác ABC nhọn, ba đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Gọi I, K lần lượt là hình chiếu của điểm D trên cạnh AB, AC. Gọi O là giao điểm của EF và AD.
Chứng minh rằng:
a) AE.AC = AF.AB và AI.AB = AK. AC
b) Chứng minh: AD.CosBAC = AH.SinABC. SinACB
Bài 2 :
Cho a,b,c thực dương thỏa mãn: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\le2\)
CMR ; \(\frac{1}{\sqrt{5a^2+2ab+2b^2}}+\frac{1}{\sqrt{5b^2+2bc+2c^2}}+\frac{1}{\sqrt{5c^2+2ca+2a^2}}\le\frac{2}{3}\)
Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\le2\). Chứng minh rằng: \(\frac{1}{\sqrt{5a^2+2ab+2b^2}}+\frac{1}{\sqrt{5b^2+2bc+2c^2}}+\frac{1}{\sqrt{5c^2+2ca+2a^2}}\le\frac{2}{3}\)
Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của một tam giác có chu vi bằng 4.Chứng minh:
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)+8>9\(\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)\)
a) cho x,y dương. CMR: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)
b) cho a+b+c=1 CMR: \(\frac{a}{a+b^2}+\frac{b}{b+c^2}+\frac{c}{c+a^2}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
