BĐT cần chứng minh <=> \(\left(a+b+c\right)\left(\frac{b}{a^2}+\frac{c}{b^2}+\frac{a}{c^2}\right)\ge9\)
Áp dụng BĐT Cauchy 3 số ta có: \(\left(a+b+c\right)\left(\frac{b}{a^2}+\frac{c}{b^2}+\frac{a}{c^2}\right)\ge3\sqrt[3]{abc}.3.\sqrt[3]{\frac{b}{a^2}.\frac{c}{b^2}.\frac{a}{c^2}}=9.\sqrt[3]{abc}.\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}=9\)
Dấu "=" xảy ra khi a = b = c
Cho a,b,c là các số không âm thỏa a+b+c=3.Chứng minh :
\(\frac{a^2}{a+b^2}+\frac{b^2}{b+c^2}+\frac{c^2}{c+a^2}\ge\frac{3}{2}\)
Cho các số thực không âm a,b,c thỏa mãn \(a+b+c=3\)
Chứng minh rằng \(\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2}\ge\frac{3}{2}\)
Cho a. b. c không âm và có tổng bằng 1. Chứng minh rằng:
\(\frac{a}{4b^2+1}+\frac{b}{4c^2+1}+\frac{c}{4a^2+1}\ge\left(a\sqrt{a}+b\sqrt{b}+c\sqrt{c}\right)^2\)
1) cho a;b;c ko âm .chứng minh \(\sqrt{\frac{a+2b}{3}}+\sqrt{\frac{b+2c}{3}}+\sqrt{\frac{c+2a}{3}}\ge\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\)
2) cho a;;b;c dương và abc=1. chứng minh \(\frac{bc}{a^2b+a^2c}+\frac{ca}{b^2c+b^2a}+\frac{ab}{c^2a+c^2b}\ge\frac{3}{2}\)
Cho a,b,c không âm CMR
\(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{c^2}{a+b}\)\(\ge\frac{a+b+c}{2}\)
1) Cho a, b, c > 0. Chứng minh: \(\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\right)^2\ge\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
2) Cho \(a,b,c\in R\).
a) Chứng minh: \(\left(a^2+3\right)\left(b^2+3\right)\left(c^2+3\right)\ge4\left(a+b+c+1\right)^2\)
b) Chứng minh: \(\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)\ge\frac{5}{16}\left(a+b+c+1\right)^2\)
3) Cho \(a,b,c\in R\)Chứng minh: \(\frac{a^3}{b^2}+\frac{b^3}{c^2}+\frac{c^3}{a^2}\ge\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\)
Bài 1 : cho các số không âm a,b,c . Chứng minh :
a, \(\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\)
b, \(\sqrt{a+b}< \sqrt{a}+\sqrt{b}\)
c. \(a+b+\frac{1}{2}\ge\sqrt{a}+\sqrt{b}\)
d, \(\sqrt{\frac{a+b}{2}}\ge\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2}\)
cho các số a,b,c dương, chứng minh bất đẳng thức: \(\frac{b}{a^2}+\frac{c}{b^2}+\frac{a}{c^2}\ge\frac{9}{a+b+c}\)
\(Cho\)\(a,b,c>0/a^2+b^2+c^2\).Chứng minh rằng \(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\ge\frac{9}{a+b+c}\)
