Question

Cho a, b, c đôi một khác nhau thỏa mãn (a + b)/c = (b + c)/a = (c + a)/b). Tính giá trị của biểu thức P = (1 + a/b)(1 + b/c)(1 + c/a)

Answer 1

Dựa vào tính chất dãy tỉ số bằng nhau:

  \(\frac{a+b}{c}=\frac{b+c}{a}=\frac{c+a}{b}=\frac{\left(a+b\right)+\left(b+c\right)+\left(c+a\right)}{a+b+c}=\frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\)

Suy ra:

   \(a+b=2c;b+c=2a;c+a=2b\)

Từ đẳng thức đầu a + b = 2 c  => a = 2c - b thay vào 2 đẳng thức cuối ta có:

   \(b+c=2\left(2c-b\right)\)  và \(c+\left(2c-b\right)=2b\)

=> b = c => a = c

Vậy a = b = c

Khi đó:

  \(P=\left(1+\frac{a}{b}\right)\left(1+\frac{b}{c}\right)\left(1+\frac{c}{a}\right)=\left(1+1\right)\left(1+1\right)\left(1+1\right)=8\)