Question

Cho a, b, c, d là độ dài các cạnh của một tứ giác thỏa mãn điều kiện: \(a^4+b^4+c^4+d^4=4abcd\)

Chứng minh rằng: a, b, c, d là độ dài các cạnh của một hình thoi

Answer 1

Gán giá trị: a = b = c = d = 1

Ta có, giá trị phải thỏa mãn điều kiện \(a^4+b^4+c^4+d^4=4abcd\Leftrightarrow1^4+1^4+1^4+1^4=1+1+1+1\)

\(=4\) (thỏa mãn yêu cầu đề bài)

\(\RightarrowĐPCM\)

Ps: Làm xàm chút thôi! nhưng vẫn có thể đúng!

Answer 2

áp dụng bất đẳng thức a²+b²\(\ge\)2ab, dấu bằng xảy ra khi a=b

Ta có a⁴+b⁴\(\ge\)2a²b²,dấu bằng xảy ra khi a=b

c⁴+d⁴\(\ge\)2c²d²,dấu bằng xảy ra khi c=d

a²b²+c²d²\(\ge\)2abcd,dấu bằng xảy ra khi ab=cd

Vậy a⁴+b⁴+c⁴+d⁴\(\ge\)2a²b²+2c²d²=2(a²b²+c²d²)\(\ge\)2.2abcd=4abcd

Dấu = xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}a=b\\c=d\\ab=cd\end{cases}}\)suy ra a=b=c=d suy ra a,b,c,d là 4 cạnh của 1 hình thoi

 

Answer 3

giải:

giả sử a, b, ,c, d lần lượt là các cạnh của 1 hình thoi

=>a = b = c = d

theo đề bài, ta có:

a^4 + b^4 + c^4 + d^4 = 4abcd

hay a^4 + a^4 + a^4 + a^4 = 4aaaa

<=> 4a^4 = 4a^4 (ĐPCM)