Ta có:
\(a^2+b^2=c^2+d^2\)
\(\Leftrightarrow a^2-c^2=d^2-b^2\)
\(\Leftrightarrow\left(a-c\right)\left(a+c\right)=\left(d-b\right)\left(d+b\right)\)
Mà \(a+b=c+d\Leftrightarrow a-c=d-b\)
\(\Leftrightarrow\left(a-c\right)\left(a+c\right)=\left(a-c\right)\left(d+b\right)\)
TH1: \(a-c\ne0\)
\(\Rightarrow a+c=d+b\Leftrightarrow a-b=d-c\left(1\right)\)
Lại có: \(a+b=c+d\left(2\right)\)
Cộng (1) và (2) theo vế ta có: \(2a=2d\Leftrightarrow a=d\)\(\Rightarrow b=c\)
\(\Rightarrow a^{2006}=d^{2006}\); \(b^{2006}=c^{2006}\)
\(\Rightarrow a^{2006}+b^{2006}=c^{2006}+d^{2006}\)(*)
TH2: \(a-c=0\)
\(\Rightarrow a=c\)\(\Rightarrow b=d\)
\(\Rightarrow a^{2006}=c^{2006};b^{2006}=d^{2006}\)
\(\Rightarrow a^{2006}+b^{2006}=c^{2006}+d^{2006}\)(**)
Từ (*) và (**) \(\Rightarrow a^{2006}+b^{2006}=c^{2006}+d^{2006}\)
